Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры

Когда кривая растет по экспоненциальному закону, то чем выше она поднимается, тем круче становится. Чем дальше мы перемещаемся по такой кривой, тем быстрее она растет. Однако прежде, чем продолжить, давайте познакомимся с новым понятием — понятием градиента, математического показателя крутизны подъема. Градиент наклона равен отношению изменения высоты к изменению расстояния по горизонтали — это должно быть хорошо знакомо каждому, кто когда-либо ехал на автомобиле или велосипеде по горной дороге. Если дорога поднимается на 100 метров за 400 метров пути по горизонтали, как показано на рисунке ниже, то градиент составляет , или , что записывают на дорожных знаках как 25 %. Это определение интуитивно понятно, поскольку оно означает, что чем круче дорога, чем выше градиент. Однако здесь нужно быть внимательным. Дорога, у которой градиент равен 100 %, — это дорога, высота подъема которой равна пройденному расстоянию, то есть она повышается под углом всего 45 градусов. Теоретически у дороги может быть градиент и больше 100 процентов; на самом деле он может быть бесконечным, если она направлена вертикально вверх.

Дорога, показанная на рисунке выше, имеет постоянный градиент. Однако в действительности градиент большинства дорог представляет собой переменную величину. Такие дороги то набирают крутизну, то выравниваются, то снова устремляются вверх. Для того чтобы найти на них градиент любой точки (другими словами, кривой), необходимо провести в этой точке касательную и определить ее градиент. Касательная — линия, которая соприкасается с кривой в этой точке, но не пересекает ее (слово tangent («касательная») происходит от латинского tangere («касаться»)). На представленном ниже рисунке кривой с переменным градиентом я обозначил точку Р и провел в ней касательную. Для того чтобы найти ее градиент, нужно нарисовать прямоугольный треугольник, который покажет нам изменение высоты a при смещении по горизонтали, равном b, а затем рассчитать отношение a/b. Размер треугольника не имеет значения, поскольку соотношение высоты и ширины останется неизменным. Градиент в точке Р — это градиент касательной в точке Р, равный a/b.

Вернемся к описанию экспоненциальных кривых: чем дальше мы перемещаемся по ним, тем круче они становятся. Другими словами, чем выше по кривой вы пройдете, тем больше будет градиент. В действительности мы можем сделать еще более смелое заявление: для всех экспоненциальных кривых градиент неизменно представляет собой определенный процент от высоты. Но здесь возникает очевидный вопрос: что такое «кривая Златовласки», для которой значения градиента и высоты всегда равны?

Оказывается, такая «правильная» кривая описывается уравнением:

y = (2,7182818284…)^x

Как показано на рисунке ниже, когда высота равна 1, градиент тоже равен 1, когда высота равна 2, градиент равен 2, когда высота равна 3, градиент равен 3 и т. д. Следовательно, когда высота равна числу π, градиент равен π; когда высота равна миллиону, градиент тоже равен миллиону. В любой точке кривой два ее фундаментальных свойства, высота и градиент, равны друг другу и повышаются вместе, как взлетающие в небо возлюбленные на картине Шагала.

Кривая y = e^x: высота точки на кривой всегда равна градиенту в этой точке

Однако геометрическая красота этой кривой вступает в противоречие с ее уродливым порождением — хаотичной совокупностью цифр десятичного числа, начинающейся с 2,718 и продолжающейся до бесконечности без повторений. Для удобства обозначим это число буквой e и назовем его экспоненциальной константой. Это вторая самая известная математическая константа после π. Однако, в отличие от числа π, которое изучают уже на протяжении тысячи лет, число e появилось сравнительно недавно.