Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры

Для того чтобы определить высоту горы, необходимо нарисовать два треугольника (как показано выше), поскольку добраться до угла треугольника, расположенного прямо под вершиной горы, невозможно. Топограф решает эту задачу путем наблюдения за вершиной горы из двух точек, каждая из которых образует прямую линию с вершиной под углами α и β. Кроме того, он измеряет расстояние d между этими двумя точками. Высоту горы можно рассчитать с помощью значений tan α, tan β и d (в Приложении 3 показано, как это сделать).

Тригонометрия (или наука о соотношении сторон треугольника) повлияла на развитие таких областей, как навигация и военное дело, позволив морякам и солдатам измерять расстояния до объектов, к которым они не могли приблизиться без риска утонуть или быть убитыми. Кроме того, тригонометрия помогла арабскому ученому аль-Бируни превзойти результат Эратосфена в определении окружности Земли. В XI веке нашей эры, когда аль-Бируни жил в крепости у Соляного Кряжа в Пенджабе, он случайно нашел место, географические характеристики которого идеально подходили для измерения высоты горы. Она была высокой и выходила на плоскую равнину. Все складывалось как нельзя лучше для реализации этого намерения посредством тригонометрии, поэтому аль-Бируни так и поступил. Но затем, вместо того чтобы собрать вещи и уйти, он взобрался на вершину горы и измерил угол между горизонтальным направлением взгляда и горизонтом, обозначенный на рисунке ниже как θ. Далее аль-Бируни соединил точку встречи горизонта с землей и точку на вершине горы, в которой он стоял, с центром Земли, образовав прямоугольный треугольник. Затем он вычислил радиус Земли, умножив высоту горы на отношение (доказательство можно найти в Приложении 3). Выполнив необходимые расчеты, аль-Бируни получил значение радиуса Земли, равное 6335 километрам, что дает окружность 39 800 километров — всего на 0,5 процента меньше правильного значения и почти в десять раз точнее, чем оценка Эратосфена.

Измерение радиуса Земли по методу аль-Бируни

Соотношение сторон треугольника стало настоящим открытием для архитекторов, астрономов, артиллеристов, ученых и мореплавателей. К тому же это послужило толчком к формированию абстрактной математики, позволяющей по-новому взглянуть на классические геометрические концепции, такие как теорема Пифагора, которая гласит, что:

a²+b²= c²,

где c — гипотенуза, a и b — два катета.

Если α — это угол между сторонами b и c, тогда:

Другими словами, a = c sin α, а b = c cos α. Мы можем подставить эти значения в уравнение Пифагора:

(c sin α)² + (c cos α)² = c²,

которое можно преобразовать так:

c² (sin α)² + c² (cos α)² = c²

и привести к следующему виду:

(sin α)² + (cos α)² = 1

Прекрасно! Теперь у нас есть компактная формула, демонстрирующая, как можно вычислить синус по косинусу и наоборот без необходимости рисовать треугольник. Это простейшее из уравнений, которые называют тригонометрическими тождествами — уравнениями, включающими в себя тригонометрические функции. Принято считать, что арабский математик ибн-Юнус (современник аль-Бируни) вывел следующую формулу:

Она имела огромное значение, хотя математикам понадобилось пять сотен лет, чтобы понять почему. Уравнение ибн-Юнуса позволяет заменить такую трудную математическую операцию, как умножение, на более простое действие — сложение.

Представьте, что нам нужно умножить 0,2897 на 0,3165.

Оба числа находятся в диапазоне от 0 до 1, стало быть, есть такие углы, для которых эти числа являются косинусами. Определить, какие именно углы соответствуют данным значениям, помогут тригонометрические таблицы. Вот эти углы:

cos 73,160° = 0,2897

cos 71,548° = 0,3165

Следовательно, мы можем записать уравнение так:

0,2897 × 0,3165 = cos 73,160° × cos 71,548°

Приведенное выше тождество говорит о том, что эта формула эквивалентна следующему уравнению:

Обратившись к таблицам, получим тождество:

Это и есть результат умножения чисел 0,2897 и 0,3165, причем очень точный. Умножьте их с помощью калькулятора, округлите произведение до четвертого десятичного знака, и получите 0,0917.

Приведенный выше способ умножения чисел может показаться слишком сложным, но в конце XVI столетия он был самым легким. Вместо того чтобы расписывать операцию умножения в столбик, что требует больших усилий и времени, достаточно просто посмотреть в сборник тригонометрических таблиц, сложить два числа, найти их разность, снова посмотреть в таблицы, сложить два числа и разделить их на два. Этот метод обозначается термином простаферезис (prosthaphaeresis), который образован от греческих слов, означающих сложение и вычитание, — prosthesis и aphaeresis.