Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры

Когда Солнце отбрасывает тень от шеста, образуется прямоугольный треугольник, как мы помним из истории о Фалесе. Однако, когда Солнце движется по небу, изменение угла падения солнечных лучей не вызывает пропорционального изменения длины тени. Если угол увеличивается с постоянным приращением (как на представленном ниже рисунке), то приращение длины тени с каждым разом становится все больше, поэтому в конце дня мы видим, как тени буквально ползут по земле. Астрономы, не говоря уже о производителях солнечных часов, очень хотели понять взаимосвязь между углом падения солнечных лучей и длиной тени. Но у древних греков не было инструмента, который бы помог им ответить на этот вопрос: при всех их геометрических знаниях, существовавшая на то время система представления чисел была чрезвычайно громоздкой. Для того чтобы продвинуться дальше в изучении треугольников, древним грекам требовалась более эффективная система записи дробных чисел.

Солнечные лучи, падающие под равными углами, отбрасывают тени разной длины

Греческая система счисления произошла от египетской, которая подразумевала запись чисел двумя способами[62]. Вырезая числа на дереве или высекая на камне, египтяне использовали иероглифы. Каждая степень десяти от единицы до миллиона была представлена специальным символом: 1 — вертикальная линия, 10 — перевернутая буква U, 100 — спираль, 1000 — цветок лотоса со стеблем, 10 000 — слегка изогнутый палец, 100 000 — головастик, 1 000 000 — человек на коленях с поднятой к небу головой[63]. Любое число записывалось посредством повторения этих символов; например, число 3 141 592 выглядело бы так.

Для записи чисел на папирусе египтяне применяли менее сложную систему иератического письма, которая больше подходила для использования ручки и чернил. Они ввели специальные символы для обозначения цифр и чисел, кратных 10. Таким образом, вместо утомительного изображения числа 7 в виде семи вертикальных линий египтяне применяли один символ . Переход от представления чисел в виде повторяющихся иероглифов к их записи с помощью символов был важным шагом вперед.

В случае записи чисел с помощью иероглифов для обозначения дробей над числом размещался символ рта , для того чтобы обозначить обратную величину — подобно тому, как мы ставим 1 над линией дроби. Например, дробь изображалась как , а — как . В системе записи чисел посредством иератического письма для обозначения дроби над числом ставилась точка; например, дробь выглядела так: . Египтяне использовали только единичные дроби, поэтому им приходилось разбивать дроби с числителем больше 1 на сумму единичных дробей, например — на + и — на + + + . Сжатое значение египетских сумм единичных дробей напоминает нашу систему десятичных дробей, в которой, например, число 0,234 представляет сумму дробей + + , хотя египетская система была не настолько эффективной и гибкой, как наша[64]

Во времена Евклида древние греки уже использовали систему счисления, основанную на египетском иератическом письме: 27 числам соответствовали 27 различных символов — букв греческого алфавита[65]. Например, число 444 записывалось как υµδ, поскольку символом υ обозначалось число 400, символом µ — 40 и δ — 4. Дроби описывались словами, скажем, «одиннадцать частей в восьмидесяти трех» или отображались в виде простых дробей с числителем и знаменателем, во многом напоминавших современную форму, такую как , хотя у греков сохранилось исторически сложившееся пристрастие к единичным дробям. Египетская и греческая системы представления чисел не годились для астрономии, поскольку для отслеживания движения планет необходимо рассчитывать малейшие доли углов, а простые и единичные дроби слишком громоздки для этого.

В Месопотамии, однако, применялась гораздо более гибкая система представления чисел. В Вавилоне использовалась позиционная система счисления, в которой значение каждой цифры зависело от ее позиции в числе. Современная числовая система — это десятичная позиционная система счисления. Например, в числе 123 цифра 3 находится в разряде единиц, цифра 2 — в разряде десятков и цифра 1 — в разряде сотен. Большим преимуществом позиционной системы счисления является то, что с ее помощью можно записывать дроби. В нашей системе счисления такие дроби называются десятичными. Например, в числе 0,56 цифра 5 находится в разряде десятых, а цифра 6 — в разряде сотых.