Код. Тайный язык информатики

Десятеричная система

Восьмеричная система

20

1

1

21

2

2

22

4

4

23

8

10

24

16

20

25

32

40

26

64

100

27

128

200

28

256

400

29

512

1000

210

1024

2000

211

2048

4000

212

4096

10 000

Круглые числа из правого столбца подсказывают, что системы счисления, отличающиеся от десятеричной, удобны для работы с двоичными кодами.

Структурно восьмеричная система аналогична десятеричной. Отличия лишь в деталях. Например, каждая позиция в восьмеричном числе — это цифра, умноженная на степень восьмерки.

Следовательно, восьмеричное число 3725ВОСЕМЬ можно разбить:

3725ВОСЕМЬ = 3000ВОСЕМЬ + 700ВОСЕМЬ + 20ВОСЕМЬ + 5ВОСЕМЬ.

Эту последовательность можно переписать несколько иначе. Например, при помощи степеней восьмерки в их десятеричном представлении:

3725ВОСЕМЬ = 3 × 512ДЕСЯТЬ +

7 × 64ДЕСЯТЬ +

2 × 8ДЕСЯТЬ +

5 × 1.

То же самое, записанное при помощи степеней восьмерки в восьмеричном представлении:

3725ВОСЕМЬ = 3 × 1000ВОСЕМЬ +

7 × 100ВОСЕМЬ +

2 × 10ВОСЕМЬ +

5 × 1.

А можно сделать вот так:

3725ВОСЕМЬ = 3 × 83 +

7 × 82 +

2 × 81 +

5 × 80.

Если выполнить эти расчеты в десятеричной системе, получится 2005ДЕСЯТЬ. Таким образом восьмеричные числа преобразуются в десятеричные.

Восьмеричные числа складываются и перемножаются в точности как десятеричные. Разница в том, что таблицы умножения и сложения для восьмеричных чисел строятся иначе. Вот таблица сложения восьмеричных чисел.

Например, 5ВОСЕМЬ + 7ВОСЕМЬ = 14ВОСЕМЬ, то есть восьмеричные числа можно складывать в столбик.

Начинаем справа: 5 плюс 3 равно 10, 0 пишем, 1 в уме; 1 плюс 3 плюс 4 равно 10, 0 пишем, 1 в уме; 1 плюс 1 плюс 6 равно 10.

Аналогично дважды два и в восьмеричной системе равно четырем. Но трижды три не равно девяти. А как? Трижды три равно 11ВОСЕМЬ, это столько же, сколько и 9ДЕСЯТЬ. Далее полностью приведена восьмеричная таблица умножения.

Здесь у нас 4 × 6 равно 30ВОСЕМЬ, но 30ВОСЕМЬ равно 24ДЕСЯТЬ, то есть 4 × 6 в десятеричной системе.

Восьмеричная система счисления столь же полноценна, как и десятеричная.

Мы разработали систему счисления для мультяшек. Теперь давайте создадим такую же систему для омаров. У омаров нет пальцев, но на кончиках передних лап у них клешни. Омарам подойдет четверичная система счисления с основанием четыре.

Вот как считают в четверичной системе: 0, 1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23, 30, 31, 32, 33, 100, 101, 102, 103, 110 и т. д.

Не буду подробно останавливаться на четверичной системе, поскольку мы приближаемся к более важному вопросу. Как видите, здесь каждая позиция в числе соответствует степени четверки.

В четверичной системе счисления число 31 232 можно записать следующим образом:

31 232ЧЕТЫРЕ = 3 × 256ДЕСЯТЬ +

1 × 64ДЕСЯТЬ +

2 × 16ДЕСЯТЬ +

3 × 4ДЕСЯТЬ +

2 × 1ДЕСЯТЬ.

Что равнозначно записи:

31 232ЧЕТЫРЕ = 3 × 10 000ЧЕТЫРЕ +

1 × 1000ЧЕТЫРЕ +

2 × 100ЧЕТЫРЕ +

3 × 10ЧЕТЫРЕ +

2 × 1ЧЕТЫРЕ.

А это то же самое, что и:

31 232ЧЕТЫРЕ = 3 × 44 +

1 × 43 +

2 × 42 +

3 × 41 +

2 × 40.

Если мы выполним вычисления в десятичной системе счисления, то обнаружим, что 31 232ЧЕТЫРЕ — это 878ДЕСЯТЬ.

Теперь мы сделаем еще один прыжок, на этот раз окончательный. Представьте, что мы дельфины и можем использовать для подсчета два плавника. В данном случае мы имеем дело с системой счисления с основанием 2, или двоичной, или, иначе, бинарной (от лат. binary — «двойной», «состоящий из двух частей»). Понятно, что у нас будет только две цифры: 0 и 1.

С нулем и единицей мало что можно сделать, и, чтобы привыкнуть к двоичным числам, требуется практика. Проблема в том, что сразу заканчиваются цифры. Например, на следующем рисунке показано, как дельфин считает на плавниках.

Да, в двоичной системе счисления за 1 следует 10. Это странно, однако это не должно удивлять. Независимо от того, какую систему счисления мы используем, всякий раз, когда у нас заканчиваются отдельные цифры, первое двузначное число всегда 10. В двоичной системе счисления мы считаем:

0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, 10001…

Эти числа могут показаться большими, но на самом деле это не так. Скорее, двоичные числа очень быстро становятся длинными, а не большими.

Количество голов у людей — 1ДЕСЯТЬ, или 1ДВА.

Количество плавников у дельфинов — 2ДЕСЯТЬ, или 10ДВА.

Количество чайных ложек в столовой ложке — 3ДЕСЯТЬ, или 11ДВА.

Количество сторон у квадрата — 4ДЕСЯТЬ, или 100ДВА.

Количество пальцев на одной человеческой руке — 5ДЕСЯТЬ, или 101ДВА.

Количество конечностей у насекомых — 6ДЕСЯТЬ, или 110ДВА.

Количество дней в неделе — 7ДЕСЯТЬ, или 111ДВА.

Количество музыкантов в октете — 8ДЕСЯТЬ, или 1000ДВА.

Количество планет в Cолнечной системе, включая Плутон, — 9ДЕСЯТЬ, или 1001ДВА.

Количество центнеров в тонне — 10ДЕСЯТЬ, или 1010ДВА.

В двоичном числе, состоящем из большого количества цифр, позиции знаков соответствуют степени двойки.