Хаос и структура

Так модифицируется формально–логическое видоразличие понятия на инфинитезимальную категорию дифференциала. Дифференциал—это и есть, вообще говоря, видоразличие понятия, но — в условиях сплошной текучести — и родового понятия, и основания его деления, и самого видоразличия.

7. Замечательным примером глубочайшей логической значимости инфинитезимальных категорий является рассмотрение того, что в математическом анализе называется разницей между дифференциалом функции и ее приращением. Это математически весьма элементарный шаг, который в учебниках анализа делается обычно тут же, в первых параграфах о дифференциале. Математически он очень элементарен, но логически он очень глубок и замечательно поучителен вообще для построения логики и в частности для проверки ее построений при помощи построений математических.

Как рассуждают тут математики? Когда мы взяли Ах, произвольное приращение аргумента, то это, конечно, сейчас же отразилось и на функции, для которой мы тоже получаем некое приращение, в Зависимости от того, какая это функция. Спрашивается: что же такое дифференциал этой функции в сравнении с этим ее приращением? Есть ли это то же самое или нет, и если не тоже, то чем же именно отличается дифференциал функции от соответствующего нарастания функции? Математики тут рассуждают так.

Представим дело аналитически. Будем рассуждать как обычно. Беря функцию от , т.е. f(x), приращение аргумента Ах и соответствующее приращение функции, т.е. f(х+х)— f(х), пишем обычное выражение производной:

Возьмем разницу между производной и этим стремящимся к ней как к пределу отношением приращений функции и аргумента.

Что такое эта разность ? Это бесконечно–малая величина, которая переводит нас от приближенного значения к пределу. Это есть самый переход к пределу. Освобождая предыдущее выражение от знаменателя, получаем:

Но левая часть этого равенства есть не что иное, как приращение функции Ау, а первое слагаемое правой части есть не что иное, как дифференциал dy этой функции. Следовательно,

т.е. приращение функции и дифференциал функции отличаются друг от друга на бесконечно–малое высшего порядка, чем х.

В чем тут дело, если подойти к вопросу чисто логически? Что это за таинственная величина , которой только и отличается дифференциал от общего приращения? Вопрос этот также не ставился в логической литературе. Однако мы можем предложить его простейшее и яснейшее решение.

Мы уже знаем, что такое . Это самый переход от переменной величины, стремящейся к пределу, к самому пределу. Мы знаем также, что значит умножить. Выражаясь не математически, а образно–обывательски, это значит воспроизвести множимое методом множителя, воспроизвести одно, так сказать, в атмосфере другого, найти нечто общее между одним и другим. Такие выражения, когда они вызваны чувством (хотя и очень смутным) логической природы предмета, часто бывают для логики гораздо более ценными, чем точнейшие, но логически не осознанные и наглядно не освоенные математические формулы. Если х есть произвольное приращение независимого переменного, т.е. известная материальная перемена, то Ах есть, очевидно, некое новое понимание перехода к пределу, а именно тот предельный переход, который по качеству своему есть некое определенное материальное изменение.

Что же это такое? Производная у нас, как мы знаем, есть принцип деления понятия (скажем, «цвет» для «обоев»). Разница есть, очевидно, разница между «цветом вообще» и данным цветом. Тогда х есть разница между «цветом вообще» и, напр., желтым или зеленым цветом. Но ведь дифференциал понятия есть его видовое различие. Следовательно, из полученной формулы мы имеем: приращение понятия (обои) есть его видовое различие (зеленый цвет) плюс переход этого видоразличия к его предельному в данной ситуации значению. Но что же такое этот переход видоразличия к пределу? Что делается пределом для зеленого цвета обоев? Ведь оттенков зеленого цвета неисчислимое количество. И тем не менее тут они чем–то сдерживаются, тут для них есть какой–то точный и определенный принцип, есть для них точный предел. Этот предел есть, конечно, сами обои, ибо это единственная граница, за которую мы не можем выходить, если говорим о цвете именно обоев.