Хаос и структура

TQ = MQ tg

И поскольку тангенс угла касательной с осью абсцисс есть не что иное, как производная, то

TQ=f(x) — x = dy,

т.е. отрезок TQ есть дифференциал dy функции y=f(x). И таким образом, часть МТ отрезка M'Q, не хватающая до полного приращения функции, есть то самое произведение х, которое раньше мы получили аналитически.

Это геометрическое рассуждение весьма наглядно демонстрирует нам то, что мы выше сказали о логической сущности дифференциала. Дифференциал выступает здесь в виде невинного отрезка TQ. Что это за отрезок? Один его конец, точка Q, есть начало приращения функции вообще. Другой его конец есть точка пересечения касательной в точке и ординаты точки М'.

Что значит пересечение? Пересекаться в той или иной точке — значит отождествляться в этой точке. Что значит отождествляться нашей касательной с ординатой точки Если в мы имеем желтый цвет и по направлению к М' он меняется, то что значит, что желтый цвет отождествился с цветом вообще (ибо касательная указывает на производную, а производная, согласно принятой у нас интерпретации, указывает на «цвет вообще»)? Если желтый цвет стал цветом вообще, это значит, он перестал быть именно желтым цветом. Значит, в точке желтый цвет закончился как желтый. В течение отрезка QT он менялся, т.е. он становился все менее и менее желтым. И вот в точке он перестал быть желтым и начал быть зеленым. Это критическая точка, которая одинаково и желтая и зеленая или, вернее, одинаково не желтая и не зеленая.

Но цветность по отрезку QM' продолжает развиваться дальше, а именно мы доходим до точки М', где наша ордината пересекается с самой кривой. И опять: так как пересечение в точке есть отождествление в этой точке, то ясно, что в точке М' зеленость в результате непрерывного изменения в течение ТМ' отождествляется с той вещью, которая выражена у нас в виде функции, т.е. в виде соответствующей точки на кривой. А в чем может отождествляться зеленость с листвой? Только в том, что она станет зеленью именно листвы. Так, если определяемое понятие есть листва, а ее видораз–личие зеленость, то ее дифференциал есть зеленость, постепенно нарастающая и взятая во всем своем нарастании как целое, как таковая. Если мы захотели бы взять ее как момент определения данного рода листвы, т. е. вместе с самой листвой, то мы должны были бы также перейти и от зелености вообще к зелености именно листвы, т. е. соединить вид с родом.

Такова простейшая логическая, и в частности формально–логическая, значимость инфинитезимальной категории дифференциала, демонстрированная при помощи самого элементарного геометрического рассуждения.

9. В заключение всего нашего исследования логической природы дифференциала можно еще раз подчеркнуть, что это понятие и живет, и падает вместе с понятием бесконечно–малого, вместе с учением о бесконечном и непрерывном становлении (как и все понятия математического анализа). Употребляя вольное выражение (а эта вольность вполне простительна после предложенных выше напряженных усилий дать точную логическую формулу), дифференциал есть как бы атом бесконечно–малого, как бы бесконечный и непрерывный процесс в виде законченной индивидуальности. Если само бесконечно–малое вообще не есть нечто — ибо это есть только процесс, только само становление, без начала и конца, без середины и вообще не содержащее в себе никаких точек (ибо точка есть нечто совершенно противоположное становлению), — то дифференциал есть ставшее, бесконечно–малое как ставшее, такое бесконечно–малое, которое плещется в твердых и неподвижных берегах.

Стало быть, если и наше мышление, в частности понятие, должно быть взято с точки зрения этого сплошного становления, то дифференциал отражения вещи в мысли есть, следовательно, во–первых, понятие, а во–вторых, не понятие просто, а его бесконечно–малое нарастание, наплывание, становление, которое можно брать и как таковое, в чистом виде, а можно брать и в виде своеобразных атомов, молекул, элементов, индивидуальностей. Поэтому дифференциал мышления есть не столько понятие, сколько нечто понятийное, молекула понятийности. Это сплошное и безраздельное наплывание и становление самой понятийности. Вот эта–то замечательная идея и заставила Энгельса заговорить, как мы выше видели, о «расплавливании затвердевших категорий» в дифференциальном и интегральном исчислении. Дифференциал мышления есть это расплавленное понятие или, точнее, мельчайший сдвиг такого расплавленного понятия, первый, едва отличный от нуля момент этого плавления. Пусть читатель судит сам, имеется ли у него еще какой–нибудь столь же совершенный метод для изображения становления понятий и можно ли пренебречь в логике этим дивным, этим тонким и острым, этим замечательным понятием дифференциала. Безусловная, подлинная стихия чистого становления зафиксирована тут в тончайшем и точнейшем понятии вместо всех этих обывательских пошлостей и размазни, что все течет и все изменяется, не имеющих никакого отношения ни к марксизму, ни к науке вообще.