Хаос и структура

Рациональное зерно его заключается в том, что при рассмотрении в условиях уже готовой производной (а только при этих условиях и возникает речь о дифференциале) мы получаем эти dy и dx отнюдь не в качестве только стремления к нулю. Стремление к нулю и переход всего этого отношения к пределу необходимы для того, чтобы только впервые получить производную. Но теперь мы не нуждаемся в этом получении и производная у нас уже имеется (причем совершенно неважно, какими именно средствами она получена). Что же такое dyndxB такой ситуации? Если производная сейчас уже не есть переход к пределу, то и dy, dx не есть переход к пределу. И если производная сейчас толкуется как уже готовый предел, то и dy, dx должны быть тоже готовыми пределами. Но ведь их предел был нуль. Значит, в каком–то смысле и dy и dx стали нулями. Предел уже не вне их и не притягивает их из бесконечности, но всосался в них самих, растворился в них самих, стал едино с этим бесконечным процессом, подобно тому как и производную мы теперь рассматриваем в качестве уже готового предела, уже достигнутого, уже охватившего всю бесконечность стремящихся к нему приближений. Ясно, стало быть, что дифференциал в известном смысле обязательно есть нуль.

Итак, дифференциал не есть ни конечная величина, ни бесконечная, ни самый процесс становления конечности или бесконечности, ни нуль. Что же это такое? Кроме того, элементы конечности, элементы бесконечности, элементы становления и даже нуля, несомненно, наличны в понятии дифференциала. И все–таки он не есть ни одно из этих определений. И напрасно математики старались и стараются такими способами понять категорию дифференциала, столь ясную и понятную формально–математически. Необходимо какое–то объединение всех этих четырех моментов, чтобы получить ясный логический смысл дифференциала. Но что же это за объединение?

3. Дифференциал функции есть функция двух переменных — производной от данной функции и произвольного приращения аргумента. Что это значит?

Прежде всего, как участвует в дифференциале функции ее производная? Производная есть предел, — мы знаем чего именно. Что такое предел? Уже и относительно предела возникают, как мы знаем, многие из тех сомнений, которые затемняют категорию дифференциала. Уже и предел многие готовы понять как просто конечную величину, как будто бы 1, 2, 3 и т. д. уже в силу своей конечности есть некие пределы. Но поскольку понятие предела гораздо проще и понятнее дифференциала, то обыкновенно и не входят глубоко в логический анализ этого понятия. Что ж тут объяснять? Вот предел; а вот то, что к нему стремится. И — все ясно. Но на самом же деле это, как мы видели в логической теории предела, вовсе не так ясно и просто. Предел логически имеет значение только вместе с бесконечным и непрерывным процессом приближения к нему его инобытия. Иначе это не предел, а просто конечное число. Предел, как мы видим, есть — в логическом смысле— обязательно синтез конечного и бесконечного, и не просто синтез вообще, а некоторого рода специальный синтез, ибо становление тоже есть синтез конечного и бесконечного; да и само конечное тоже ведь только с наивно–метафизической точки зрения является просто конечным, и больше ничего. Только наивно–мстафизи–чески можно было бы гипостазировать категорию конечного в отрыве от всего прочего. На самом же деле всякое конечное число, даже единицу, как мы видели, можно представить состоящим из бесконечного количества отдельных достаточно мелких элементов. И всякий отрезок прямой, как бы он мал ни был в абсолютном смысле, состоит из бесконечного количества отрезков достаточно малых. Значит, тот синтез конечного и бесконечного, который характерен для предела, есть специфический синтез конечного и бесконечного. Это именно есть синтез достигнутости конца для бесконечного процесса; это ставшее того бесконечного становления, в котором находилось конечное. Тут важна пройденность бесконечного пути, чего нет в других указанных только что синтезах конечного и бесконечного. Однако не будем входить здесь в детали и ограничимся тем, что просто назовем этот синтез синтезом предела или предельным синтезом. Он прежде всего и возникает, когда речь заходит о дифференциале.