Как не ошибаться. Сила математического мышления

Ведь вопрос теперь звучит так: сколько пересечений делает окружность? Совершенно неожиданно задача, казавшаяся сложной, становится простой. Симметрия, которую мы потеряли, когда перешли от круга к игле, восстановлена посредством сгибания иглы в кольцо. А это существенно упрощает задачу. Не имеет значения, куда упадет круг, – он пересекает линии на полу ровно два раза.

Таким образом, ожидаемое количество пересечений равно 2; оно же равно πp. Следовательно, мы можем сделать вывод, что p = 2 / π, как и говорил Бюффон. На самом деле представленная выше аргументация применима к любой игле, какой бы многосторонней или изогнутой она ни была: ожидаемое количество пересечений равно Lp, где L – это длина иглы в единицах, равных ширине планки. Бросьте на кафельный пол груду спагетти – и я смогу точно сказать, какое число пересечений линий с макаронинами следует ожидать. Математические остряки называют этот обобщенный вариант задачей Бюффона о лапше.

Море и камень

Доказательство Барбье напоминает мне слова Пьера Делиня, специалиста по алгебраической геометрии, сказанные им о своем учителе Александре Гротендике: «Кажется, будто ничего не происходит, и все-таки в итоге получается в высшей степени нетривиальная теорема»{169}.

У людей непосвященных порой складывается впечатление, что математика сводится к применению все более и более мощных инструментов для все более глубокого погружения в неизведанное, подобно тому как строители тоннелей пробиваются сквозь скалу с помощью все более мощных взрывчатых веществ. Но это только один из возможных способов. Александр Гротендик, который в 1960–1970-х годах переделал большую часть чистой математики по своему разумению, смотрел на это иначе:

Неизведанное, которое предстояло познать, казалось мне участком земли или твердого камня, сопротивляющегося вторжению… море безразлично наступает в тишине, ничего как будто не происходит, ничего не двигается, вода так далеко, что ее едва слышно… и все же в конце концов она окружает сопротивляющуюся субстанцию{170}.

Неизведанное – это камень в море, который препятствует нашему развитию. Мы можем попытаться воткнуть динамит в щели, взорвать его и повторять все это до тех пор, пока камень не развалится на части, как сделал Бюффон со своими сложными вычислениями. Или можно придерживаться более созерцательного подхода, позволяющего вашему уровню понимания постепенно и спокойно повышаться, пока через какое-то время то, что раньше казалось препятствием, не исчезнет под спокойной водой.

Математика в современном ее виде представляет собой тонкое взаимодействие между монашеским созерцанием и взрывами динамита.

Ремарка в сторону: О математиках и безумии

Барбье опубликовал свое доказательство теоремы Бюффона в 1860 году, когда ему исполнился двадцать один год и он был многообещающим студентом Высшей нормальной школы (École normale supérieure) в Париже. В 1865 году, оказавшись на грани тяжелого нервного срыва, он уехал из города, не оставив нового адреса. Ни один математик больше не встречал Барбье, пока в 1880 году старый учитель Жозеф Бертран не нашел его в одной из психиатрических лечебниц. Что касается Гротендика, в 1980-х годах он также оставил академическую математику и живет сейчас в селинджеровском уединении где-то в Пиренеях. Никто не знает, над какими математическими задачами он работает, если вообще работает. Ходят слухи, что ученый просто пасет овец[181].