Читаем Как не ошибаться. Сила математического мышления полностью

Вот почему это столь щекотливая задача. Когда вы бросаете на пол экю, не имеет значения, в какую сторону смотрит отчеканенный на ней Людовик XV. Круг выглядит одинаково во всех направлениях, а значит, вероятность того, что монета пересечет край плитки, не зависит от ее ориентации.

Игла Бюффона – совсем другая история. Игла, направленная почти параллельно планкам, вряд ли пересечет край планки.

Однако, если игла упадет поперек планок, она почти наверняка пересечет щель между ними.

Игра франк-карро в высшей степени симметрична; если говорить в специальных терминах, она инвариантна относительно поворота монеты. В задаче об игле такая симметрия нарушена, что делает задачу гораздо более трудной: необходимо отслеживать не только место, в котором окажется центр иглы после падения, но и направление, в котором падает игла.

В двух крайних случаях вероятность того, что игла пересечет край планки, равна 0 (если игла расположена параллельно планке) или 1 (если игла расположена перпендикулярно планке). Следовательно, вы могли бы разделить разность пополам и выдвинуть предположение, что игла пересекает край планки ровно в половине случаев.

Однако это ошибочный вывод: на самом деле игла пересекает край гораздо чаще, чем падает полностью в пределах одной планки. Задача Бюффона об игле имеет неожиданное и очень красивое решение: эта вероятность составляет 2 / π, или около 64 %. Почему π, если в задаче нет никакой окружности? Бюффон нашел это решение, воспользовавшись несколько замысловатым доказательством, связанным с площадью под кривой с названием циклоида. Для того чтобы вычислить эту площадь, требуется задействовать некоторые элементы математического анализа – ничего такого, с чем не справился бы второкурсник, изучающий математику, но все же в этом нет ничего познавательного.

Однако существует еще одно решение этой задачи, которое нашел Жозеф Эмиль Барбье более чем через столетие после зачисления Бюффона в Королевскую академию наук. В этом решении формального исчисления не требуется; на самом деле вообще не нужны никакие расчеты. Доказательство, хотя и немного сложное, не требует ничего, кроме арифметической и базовой геометрической интуиции. А самое важное во всем этом – аддитивность ожидаемой ценности!

Прежде всего необходимо сформулировать задачу Бюффона в терминах ожидаемой ценности. Мы можем задать такой вопрос: чему равно ожидаемое количество краев планок, которые пересечет игла? Бюффон пытался вычислить вероятность p того, что брошенная игла пересечет край планки. Таким образом, существует вероятность 1 − p, что игла не пересечет ни одного края планки. Но если все же игла пересечет планку, то только одну[180]. Таким образом, ожидаемое количество пересечений можно получить так же, как мы обычно вычисляем ожидаемую ценность: определив сумму каждого возможного количества пересечений, умноженного на вероятность наблюдения этого количества пересечений. В данном случае существует только два значения вероятности: 0 (наблюдаемое с вероятностью 1 − p) и 1 (наблюдаемое с вероятностью p), поэтому мы вычислим сумму

(1 – p) × 0 = 0

и

p × 1 = p

и получим в итоге p.

Таким образом, ожидаемое количество пересечений – это просто p, то же самое значение, которое вычислил Бюффон. Создается впечатление, что мы так и не продвинулись дальше. Как мы можем найти то загадочное число?

Когда вы сталкиваетесь с математической задачей, которую не знаете, как решить, у вас есть два основных варианта действий. Задачу можно либо упростить, либо сделать сложнее.

Первый вариант кажется более приемлемым: вы используете вместо этой задачи более простую и решаете ее в расчете на то, что понимание, обретенное вами в процессе решения более легкой задачи, поможет вам глубже проникнуть в суть более сложной задачи, которую вы пытаетесь решить. Именно это делают математики каждый раз, когда моделируют сложную реальную систему с помощью отлаженного, безупречного математического механизма. Иногда этот подход применяется весьма успешно: если вы отслеживаете траекторию движения тяжелого реактивного снаряда, вы хорошо справитесь с задачей, не принимая во внимание сопротивление воздуха и считая, что движущееся тело подвержено только постоянному воздействию силы тяжести. В других случаях ваше упрощение достигает такого уровня, что устраняет интересные аспекты задачи, как в старом анекдоте о физике, перед которым поставили задачу оптимизировать процесс производства молочных продуктов, и он без каких-либо сомнений произносит: «Возьмем сферическую корову…»

В этом духе кто-то может попытаться почерпнуть какие-либо идеи в отношении иглы Бюффона посредством решения более простой задачи с игрой франк-карро: «Возьмем круглую иглу…» Однако не совсем понятно, какую полезную информацию можно извлечь из задачи с монетой, чья вращательная симметрия лишает задачу об игле того самого свойства, которое делает ее интересной.

Перейти на страницу:

Все книги серии Библиотека фонда «Эволюция»

Происхождение жизни. От туманности до клетки
Происхождение жизни. От туманности до клетки

Поражаясь красоте и многообразию окружающего мира, люди на протяжении веков гадали: как он появился? Каким образом сформировались планеты, на одной из которых зародилась жизнь? Почему земная жизнь основана на углероде и использует четыре типа звеньев в ДНК? Где во Вселенной стоит искать другие формы жизни, и чем они могут отличаться от нас? В этой книге собраны самые свежие ответы науки на эти вопросы. И хотя на переднем крае науки не всегда есть простые пути, автор честно постарался сделать все возможное, чтобы книга была понятна читателям, далеким от биологии. Он логично и четко формулирует свои идеи и с увлечением рассказывает о том, каким образом из космической пыли и метеоритов через горячие источники у подножия вулканов возникла живая клетка, чтобы заселить и преобразить всю планету.

Михаил Александрович Никитин

Научная литература
Ни кошелька, ни жизни. Нетрадиционная медицина под следствием
Ни кошелька, ни жизни. Нетрадиционная медицина под следствием

"Ни кошелька, ни жизни" Саймона Сингха и Эдзарда Эрнста – правдивый, непредвзятый и увлекательный рассказ о нетрадиционной медицине. Основная часть книги посвящена четырем самым популярным ее направлениям – акупунктуре, гомеопатии, хиропрактике и траволечению, а в приложении кратко обсуждаются еще свыше тридцати. Авторы с самого начала разъясняют, что представляет собой научный подход и как с его помощью определяют истину, а затем, опираясь на результаты многочисленных научных исследований, страница за страницей приподнимают завесу тайны, скрывающую неутешительную правду о нетрадиционной медицине. Они разбираются, какие из ее методов действенны и безвредны, а какие бесполезны и опасны. Анализируя, почему во всем мире так широко распространены методы лечения, не доказавшие своей эффективности, они отвечают не только на вездесущий вопрос "Кто виноват?", но и на важнейший вопрос "Что делать?".

Саймон Сингх , Эрдзард Эрнст

Домоводство / Научпоп / Документальное
Введение в поведение. История наук о том, что движет животными и как их правильно понимать
Введение в поведение. История наук о том, что движет животными и как их правильно понимать

На протяжении всей своей истории человек учился понимать других живых существ. А коль скоро они не могут поведать о себе на доступном нам языке, остается один ориентир – их поведение. Книга научного журналиста Бориса Жукова – своего рода карта дорог, которыми человечество пыталось прийти к пониманию этого феномена. Следуя исторической канве, автор рассматривает различные теоретические подходы к изучению поведения, сложные взаимоотношения разных научных направлений между собой и со смежными дисциплинами (физиологией, психологией, теорией эволюции и т. д.), связь представлений о поведении с общенаучными и общемировоззренческими установками той или иной эпохи.Развитие науки представлено не как простое накопление знаний, но как «драма идей», сложный и часто парадоксальный процесс, где конечные выводы порой противоречат исходным постулатам, а замечательные открытия становятся почвой для новых заблуждений.

Борис Борисович Жуков

Зоология / Научная литература

Похожие книги

12 недель в году
12 недель в году

Многие из нас четко знают, чего хотят. Это отражается в наших планах – как личных, так и планах компаний. Проблема чаще всего заключается не в планировании, а в исполнении запланированного. Для уменьшения разрыва между тем, что мы хотели бы делать, и тем, что мы делаем, авторы предлагают свою концепцию «года, состоящего из 12 недель».Люди и компании мыслят в рамках календарного года. Новый год – важная психологическая отметка, от которой мы привыкли отталкиваться, ставя себе новые цели. Но 12 месяцев – не самый эффективный горизонт планирования: нам кажется, что впереди много времени, и в результате мы откладываем действия на потом. Сохранить мотивацию и действовать решительнее можно, мысля в рамках 12-недельного цикла планирования. Эта система проверена спортсменами мирового уровня и многими компаниями. Она поможет тем, кто хочет быть эффективным во всем, что делает.На русском языке публикуется впервые.

Брайан Моран , Майкл Леннингтон

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература
1991. Хроника войны в Персидском заливе
1991. Хроника войны в Персидском заливе

Книга американского военного историка Ричарда С. Лаури посвящена операции «Буря в пустыне», которую международная военная коалиция блестяще провела против войск Саддама Хусейна в январе – феврале 1991 г. Этот конфликт стал первой большой войной современности, а ее планирование и проведение по сей день является своего рода эталоном масштабных боевых действий эпохи профессиональных западных армий и новейших военных технологий. Опираясь на многочисленные источники, включая рассказы участников событий, автор подробно и вместе с тем живо описывает боевые действия сторон, причем особое внимание он уделяет наземной фазе войны – наступлению коалиционных войск, приведшему к изгнанию иракских оккупантов из Кувейта и поражению армии Саддама Хусейна.Работа Лаури будет интересна не только специалистам, профессионально изучающим историю «Первой войны в Заливе», но и всем любителям, интересующимся вооруженными конфликтами нашего времени.

Ричард С. Лаури

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / История / Прочая справочная литература / Военная документалистика / Прочая документальная литература
100 способов уложить ребенка спать
100 способов уложить ребенка спать

Благодаря этой книге французские мамы и папы блестяще справляются с проблемой, которая волнует родителей во всем мире, – как без труда уложить ребенка 0–4 лет спать. В книге содержатся 100 простых и действенных советов, как раз и навсегда забыть о вечерних капризах, нежелании засыпать, ночных побудках, неспокойном сне, детских кошмарах и многом другом. Всемирно известный психолог, одна из основоположников французской системы воспитания Анн Бакюс считает, что проблемы гораздо проще предотвратить, чем сражаться с ними потом. Достаточно лишь с младенчества прививать малышу нужные привычки и внимательно относиться к тому, как по мере роста меняется характер его сна.

Анн Бакюс

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Детская психология / Образование и наука