Вот почему это столь щекотливая задача. Когда вы бросаете на пол экю, не имеет значения, в какую сторону смотрит отчеканенный на ней Людовик XV. Круг выглядит одинаково во всех направлениях, а значит, вероятность того, что монета пересечет край плитки, не зависит от ее ориентации.
Игла Бюффона – совсем другая история. Игла, направленная почти параллельно планкам, вряд ли пересечет край планки.
Однако, если игла упадет поперек планок, она почти наверняка пересечет щель между ними.
Игра франк-карро в высшей степени симметрична; если говорить в специальных терминах, она инвариантна относительно поворота монеты. В задаче об игле такая симметрия нарушена, что делает задачу гораздо более трудной: необходимо отслеживать не только место, в котором окажется центр иглы после падения, но и направление, в котором падает игла.
В двух крайних случаях вероятность того, что игла пересечет край планки, равна 0 (если игла расположена параллельно планке) или 1 (если игла расположена перпендикулярно планке). Следовательно, вы могли бы разделить разность пополам и выдвинуть предположение, что игла пересекает край планки ровно в половине случаев.
Однако это ошибочный вывод: на самом деле игла пересекает край гораздо чаще, чем падает полностью в пределах одной планки. Задача Бюффона об игле имеет неожиданное и очень красивое решение: эта вероятность составляет 2 / π, или около 64 %. Почему π, если в задаче нет никакой окружности? Бюффон нашел это решение, воспользовавшись несколько замысловатым доказательством, связанным с площадью под кривой с названием циклоида. Для того чтобы вычислить эту площадь, требуется задействовать некоторые элементы математического анализа – ничего такого, с чем не справился бы второкурсник, изучающий математику, но все же в этом нет ничего познавательного.
Однако существует еще одно решение этой задачи, которое нашел Жозеф Эмиль Барбье более чем через столетие после зачисления Бюффона в Королевскую академию наук. В этом решении формального исчисления не требуется; на самом деле вообще не нужны никакие расчеты. Доказательство, хотя и немного сложное, не требует ничего, кроме арифметической и базовой геометрической интуиции. А самое важное во всем этом – аддитивность ожидаемой ценности!
Прежде всего необходимо сформулировать задачу Бюффона в терминах ожидаемой ценности. Мы можем задать такой вопрос: чему равно ожидаемое
(1 –
и
и получим в итоге
Таким образом, ожидаемое количество пересечений – это просто
Когда вы сталкиваетесь с математической задачей, которую не знаете, как решить, у вас есть два основных варианта действий. Задачу можно либо упростить, либо сделать сложнее.
Первый вариант кажется более приемлемым: вы используете вместо этой задачи более простую и решаете ее в расчете на то, что понимание, обретенное вами в процессе решения более легкой задачи, поможет вам глубже проникнуть в суть более сложной задачи, которую вы пытаетесь решить. Именно это делают математики каждый раз, когда моделируют сложную реальную систему с помощью отлаженного, безупречного математического механизма. Иногда этот подход применяется весьма успешно: если вы отслеживаете траекторию движения тяжелого реактивного снаряда, вы хорошо справитесь с задачей, не принимая во внимание сопротивление воздуха и считая, что движущееся тело подвержено только постоянному воздействию силы тяжести. В других случаях ваше упрощение достигает такого уровня, что устраняет интересные аспекты задачи, как в старом анекдоте о физике, перед которым поставили задачу оптимизировать процесс производства молочных продуктов, и он без каких-либо сомнений произносит: «Возьмем сферическую корову…»
В этом духе кто-то может попытаться почерпнуть какие-либо идеи в отношении иглы Бюффона посредством решения более простой задачи с игрой франк-карро: «Возьмем круглую иглу…» Однако не совсем понятно, какую полезную информацию можно извлечь из задачи с монетой, чья вращательная симметрия лишает задачу об игле того самого свойства, которое делает ее интересной.