Как не ошибаться. Сила математического мышления

Но это абсолютно ошибочное утверждение. Предположим, я случайным образом выберу, кому из троих детей оставить наследство. Самое вероятное значение доли каждого ребенка равно нулю, поскольку вероятность того, что я лишу его наследства, – два из трех. Однако самое вероятное значение суммы всех трех долей (по существу, единственно возможное значение) равно стоимости всего моего состояния.

Игла Бюффона, лапша Бюффона, окружность Бюффона

Нам придется прервать историю об университетских умниках и их игре в лотерею, поскольку, раз уж мы заговорили об аддитивности ожидаемой ценности, я не могу не рассказать вам о самом красивом из всех известных мне доказательств, основанном на той идее.

Все начинается с игры франк-карро, которая, как и генуэзская лотерея, напоминает о том, что в старые времена люди играли практически на всё. Для игры франк-карро необходима монета и пол с квадратной плиткой. Вы бросаете монету на пол и заключаете пари: упадет ли она так, чтобы полностью поместиться в пределах одной плитки или прикоснется к одному из краев плитки. Примерный перевод французского словосочетания franc-carreau на английский язык – «squarely within the square»{166} («целиком внутри квадрата»), а в качестве монеты, которая использовалась в этой игре, выступал не франк (его тогда еще не было в обращении), а экю.

Жорж Луи Леклерк, граф де Бюффон был провинциальным аристократом из Бургундии, у которого научные амбиции возникли еще в раннем возрасте{167}. Бюффон поступил в юридическую школу, возможно, для того чтобы вслед за своим отцом стать государственным чиновником, но сразу после окончания учебы отказался от карьеры в области права в пользу науки. В возрасте двадцати семи лет, в 1733 году, он уже был готов представить свою кандидатуру на членство в Королевской академии наук в Париже.

Впоследствии Бюффон прославился как естествоиспытатель, написав объемный труд Histoire Naturelle Générale et Particulière («Всеобщая и частная естественная история»)[177] – всего сорок четыре тома, в которых была сформулирована его теория, призванная объяснить происхождение жизни так же просто и всеобъемлюще, как теория Ньютона объяснила движение и силу. Однако на Бюффона, который еще был тогда молодым человеком, большое влияние оказала короткая встреча и долгая переписка со швейцарским математиком Габриелем Крамером[178], поэтому его интересы были сосредоточены в области чистой математики; именно в качестве математика он предложил свою кандидатуру в Королевскую академию наук.

В работе, представленной Бюффоном, речь шла об оригинальном совмещении двух областей математики, которые ранее считались разрозненными: геометрии и теории вероятностей. Работа была посвящена не важным вопросам механики движения планет по их орбитам или экономике великих государств, а скромной игре франк-карро. Бюффон[179] поставил вопрос так: какова вероятность того, что монета упадет так, чтобы полностью находиться в пределах одной плитки? И каким должен быть размер напольной плитки, чтобы игра была справедливой для обоих игроков?

Вот как Бюффон сделал это. Если радиус монеты равен r, а квадратная плитка имеет сторону длиной L, тогда монета касается кромки, когда ее центр попадает внутрь меньшего квадрата со стороной L − 2r:

Площадь меньшего квадрата равна (L – 2r)², тогда как площадь большего квадрата – L². Следовательно, если вы заключаете пари на приземление монеты «прямо внутри квадрата», ваш шанс выиграть равен (L – 2r)² / L². Чтобы игра была справедливой, этот шанс должен быть равен 1/2, а это означает, что

(L – 2r)² / L² = 1/2.

Бюффон решил это уравнение (вы также можете его решить, если вам это интересно) и обнаружил, что игра франк-карро может быть справедливой только в случае, если сторона плитки в 4 + 2√2 раза больше радиуса монеты – коэффициент, равный почти 7. Это было интересно с концептуальной точки зрения, поскольку сочетание вероятностных рассуждений с геометрическими фигурами было совершенно новым, но эта задача была совсем не трудной, и Бюффон знал, что не она будет пропуском в академию. Поэтому он решил двигаться дальше:

«А если подбрасывать в воздух не круглую монету вроде экю, но предмет совсем иной формы: скажем, взять квадратик старинного испанского пистоля, или иглу, или какую палочку, или что еще, – тогда задача потребует немного больше геометрии»{168}.

Это было преуменьшение: задача об игле – это задача, благодаря которой имя Бюффона помнят в математических кругах даже в наше время. Позвольте мне более подробно объяснить, что именно сделал Бюффон.

Задача Бюффона об игле. Предположим, у вас есть деревянный пол, сложенный из длинных узких планок, а также игла, длина которой в точности равна ширине планок. Бросьте эту иглу на пол. Какова вероятность того, что игла пересечет одну из щелей, разделяющих планки?