Вместо этого мы используем другую стратегию – стратегию, использованную Барбье:
Давайте начнем с малого. Что если мы зададим более общий вопрос: чему равно ожидаемое количество пересечений иглы с краями планки, если длина иглы составляет две ширины планки? Это вопрос кажется более сложным, поскольку теперь у нас есть три возможных результата вместо двух. Игла может упасть, полностью расположившись в пределах одной планки, или может пересечь один край планки, или может пересечь два края планки. Следовательно, чтобы вычислить ожидаемое количество пересечений, нам как будто придется вычислить вероятность трех отдельно взятых событий вместо двух.
Однако благодаря аддитивности эта более сложная проблема на самом деле легче, чем вам кажется. Нарисуйте точку посредине длинной иглы и обозначьте две половины цифрами 1 и 2, как на рисунке.
В таком случае ожидаемое количество пересечений длинной иглы равно сумме ожидаемого количества пересечений половины иглы 1 и ожидаемого количества пересечений половины иглы 2. В алгебраических терминах это можно сформулировать так: если
Такая же логика применима к игле, длина которой в три, в четыре или в сотню раз больше ширины планки. Если длина иглы равна
Такой подход работает как в случае коротких, так и в случае длинных игл. Предположим, я бросаю иглу, длина которой составляет 1/2 единицы, или половину ширины планки. Поскольку иглу Бюффона длиной в 1 единицу можно разделить на две иглы длиной 1/2 единицы, ожидаемая величина
ожидаемое количество пересечений иглы длиной
верна для
(Здесь не стоит приводить строгое доказательство того, что представленная выше формула применима и в случае, когда
Теперь необходимо проанализировать задачу под новым, так сказать, углом, согнув иглу.
Это самая длинная игла из всех, с которыми мы до сих пор имели дело: ее общая длина равна 5 единицам. Однако эта игла согнута в двух местах, а два ее края я сомкнул, чтобы образовать треугольник. Прямые сегменты иглы имеют длину 1 единица, 2 единицы и 2 единицы; следовательно, ожидаемое количество пересечений каждого сегмента равно
Другими словами, формула
ожидаемое количество пересечений иглы длиной
применима и в случае согнутых игл.
Вот одна из таких игл.
Вот еще одна.
И еще одна.
Мы уже видели такие рисунки. Те самые рисунки, которые две тысячи лет назад использовали Архимед и Евдокс, когда разрабатывали метод исчерпывания. Последний рисунок похож на окружность с диаметром в одну единицу. Но на самом деле это многоугольник, состоящий из 65 536 крохотных иголок. Ваши глаза не заметят разницы, так же как не заметит ее и пол. Это означает, что ожидаемое количество пересечений окружности диаметром в одну единицу в точности такое же, что и ожидаемое количество пересечений 65536-угольника. А согласно правилу согнутой иглы, это количество равно
Как вы воспринимаете такое усложнение задачи? Не кажется ли вам, что мы делаем задачу все более абстрактной и все более обобщенной, даже не ответив на основной вопрос: что такое
Так вот, представьте себе: мы только что вычислили это значение.