Читаем Как не ошибаться. Сила математического мышления полностью

Вместо этого мы используем другую стратегию – стратегию, использованную Барбье: сделаем задачу более сложной. Это звучит не очень обнадеживающе. Но, когда такая стратегия работает, она работает как магическая формула.

Давайте начнем с малого. Что если мы зададим более общий вопрос: чему равно ожидаемое количество пересечений иглы с краями планки, если длина иглы составляет две ширины планки? Это вопрос кажется более сложным, поскольку теперь у нас есть три возможных результата вместо двух. Игла может упасть, полностью расположившись в пределах одной планки, или может пересечь один край планки, или может пересечь два края планки. Следовательно, чтобы вычислить ожидаемое количество пересечений, нам как будто придется вычислить вероятность трех отдельно взятых событий вместо двух.

Однако благодаря аддитивности эта более сложная проблема на самом деле легче, чем вам кажется. Нарисуйте точку посредине длинной иглы и обозначьте две половины цифрами 1 и 2, как на рисунке.

В таком случае ожидаемое количество пересечений длинной иглы равно сумме ожидаемого количества пересечений половины иглы 1 и ожидаемого количества пересечений половины иглы 2. В алгебраических терминах это можно сформулировать так: если Х – это количество краев, пересеченных половиной иглы 1, а Y – количество краев, пересеченных половиной иглы 2, тогда общее количество краев, пересеченных длинной иглой, равно X + Y. Однако каждая половина длинной иглы – это и есть игла той длины, которую изначально рассматривал Бюффон; следовательно, каждая из этих половинок иглы в среднем пересекает края планки p раз. Другими словами, E(X) и E(Y) равны p. Таким образом, ожидаемое количество пересечений целой иглы, E(X+Y), равно сумме E(X) + E(Y), что равно p + p, или 2p.

Такая же логика применима к игле, длина которой в три, в четыре или в сотню раз больше ширины планки. Если длина иглы равна N (а мы теперь берем ширину планки в качестве единицы измерения), ожидаемое количество ее пересечений равно Np.

Такой подход работает как в случае коротких, так и в случае длинных игл. Предположим, я бросаю иглу, длина которой составляет 1/2 единицы, или половину ширины планки. Поскольку иглу Бюффона длиной в 1 единицу можно разделить на две иглы длиной 1/2 единицы, ожидаемая величина p должна быть в два раза больше ожидаемого количества пересечений иглы длиной 1/2 единицы. Следовательно, ожидаемое количество пересечений иглы длиной 1/2 единицы равно (1/2)p. По существу, формула

ожидаемое количество пересечений иглы длиной N = Np

верна для любого положительного действительного числа N, будь то большого или малого.

(Здесь не стоит приводить строгое доказательство того, что представленная выше формула применима и в случае, когда N – некое страшное иррациональное число, скажем квадратный корень из 2, потому что для этого понадобятся формальные математические выкладки. Но я даю честное слово, что основные идеи доказательства Барбье – те, что я привел.)

Теперь необходимо проанализировать задачу под новым, так сказать, углом, согнув иглу.

Это самая длинная игла из всех, с которыми мы до сих пор имели дело: ее общая длина равна 5 единицам. Однако эта игла согнута в двух местах, а два ее края я сомкнул, чтобы образовать треугольник. Прямые сегменты иглы имеют длину 1 единица, 2 единицы и 2 единицы; следовательно, ожидаемое количество пересечений каждого сегмента равно p, 2p и 2p соответственно. Количество пересечений всей иглы равно сумме количества пересечений каждого сегмента. Таким образом, принцип аддитивности говорит нам, что ожидаемое количество пересечений целой иглы составляет:

p + 2p + 2p = 5p.

Другими словами, формула

ожидаемое количество пересечений иглы длиной N = Np

применима и в случае согнутых игл.

Вот одна из таких игл.

Вот еще одна.

И еще одна.

Мы уже видели такие рисунки. Те самые рисунки, которые две тысячи лет назад использовали Архимед и Евдокс, когда разрабатывали метод исчерпывания. Последний рисунок похож на окружность с диаметром в одну единицу. Но на самом деле это многоугольник, состоящий из 65 536 крохотных иголок. Ваши глаза не заметят разницы, так же как не заметит ее и пол. Это означает, что ожидаемое количество пересечений окружности диаметром в одну единицу в точности такое же, что и ожидаемое количество пересечений 65536-угольника. А согласно правилу согнутой иглы, это количество равно Np, где N – это периметр многоугольника. Чему равен этот периметр? Он должен быть в точности таким же, что и длина окружности; радиус окружности равен 1/2 единицы, а значит, длина этой окружности равна π. Следовательно, ожидаемое количество пересечений окружности с краями планки равно πp.

Как вы воспринимаете такое усложнение задачи? Не кажется ли вам, что мы делаем задачу все более абстрактной и все более обобщенной, даже не ответив на основной вопрос: что такое p?

Так вот, представьте себе: мы только что вычислили это значение.

Перейти на страницу:

Все книги серии Библиотека фонда «Эволюция»

Происхождение жизни. От туманности до клетки
Происхождение жизни. От туманности до клетки

Поражаясь красоте и многообразию окружающего мира, люди на протяжении веков гадали: как он появился? Каким образом сформировались планеты, на одной из которых зародилась жизнь? Почему земная жизнь основана на углероде и использует четыре типа звеньев в ДНК? Где во Вселенной стоит искать другие формы жизни, и чем они могут отличаться от нас? В этой книге собраны самые свежие ответы науки на эти вопросы. И хотя на переднем крае науки не всегда есть простые пути, автор честно постарался сделать все возможное, чтобы книга была понятна читателям, далеким от биологии. Он логично и четко формулирует свои идеи и с увлечением рассказывает о том, каким образом из космической пыли и метеоритов через горячие источники у подножия вулканов возникла живая клетка, чтобы заселить и преобразить всю планету.

Михаил Александрович Никитин

Научная литература
Ни кошелька, ни жизни. Нетрадиционная медицина под следствием
Ни кошелька, ни жизни. Нетрадиционная медицина под следствием

"Ни кошелька, ни жизни" Саймона Сингха и Эдзарда Эрнста – правдивый, непредвзятый и увлекательный рассказ о нетрадиционной медицине. Основная часть книги посвящена четырем самым популярным ее направлениям – акупунктуре, гомеопатии, хиропрактике и траволечению, а в приложении кратко обсуждаются еще свыше тридцати. Авторы с самого начала разъясняют, что представляет собой научный подход и как с его помощью определяют истину, а затем, опираясь на результаты многочисленных научных исследований, страница за страницей приподнимают завесу тайны, скрывающую неутешительную правду о нетрадиционной медицине. Они разбираются, какие из ее методов действенны и безвредны, а какие бесполезны и опасны. Анализируя, почему во всем мире так широко распространены методы лечения, не доказавшие своей эффективности, они отвечают не только на вездесущий вопрос "Кто виноват?", но и на важнейший вопрос "Что делать?".

Саймон Сингх , Эрдзард Эрнст

Домоводство / Научпоп / Документальное
Введение в поведение. История наук о том, что движет животными и как их правильно понимать
Введение в поведение. История наук о том, что движет животными и как их правильно понимать

На протяжении всей своей истории человек учился понимать других живых существ. А коль скоро они не могут поведать о себе на доступном нам языке, остается один ориентир – их поведение. Книга научного журналиста Бориса Жукова – своего рода карта дорог, которыми человечество пыталось прийти к пониманию этого феномена. Следуя исторической канве, автор рассматривает различные теоретические подходы к изучению поведения, сложные взаимоотношения разных научных направлений между собой и со смежными дисциплинами (физиологией, психологией, теорией эволюции и т. д.), связь представлений о поведении с общенаучными и общемировоззренческими установками той или иной эпохи.Развитие науки представлено не как простое накопление знаний, но как «драма идей», сложный и часто парадоксальный процесс, где конечные выводы порой противоречат исходным постулатам, а замечательные открытия становятся почвой для новых заблуждений.

Борис Борисович Жуков

Зоология / Научная литература

Похожие книги

12 недель в году
12 недель в году

Многие из нас четко знают, чего хотят. Это отражается в наших планах – как личных, так и планах компаний. Проблема чаще всего заключается не в планировании, а в исполнении запланированного. Для уменьшения разрыва между тем, что мы хотели бы делать, и тем, что мы делаем, авторы предлагают свою концепцию «года, состоящего из 12 недель».Люди и компании мыслят в рамках календарного года. Новый год – важная психологическая отметка, от которой мы привыкли отталкиваться, ставя себе новые цели. Но 12 месяцев – не самый эффективный горизонт планирования: нам кажется, что впереди много времени, и в результате мы откладываем действия на потом. Сохранить мотивацию и действовать решительнее можно, мысля в рамках 12-недельного цикла планирования. Эта система проверена спортсменами мирового уровня и многими компаниями. Она поможет тем, кто хочет быть эффективным во всем, что делает.На русском языке публикуется впервые.

Брайан Моран , Майкл Леннингтон

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература
1991. Хроника войны в Персидском заливе
1991. Хроника войны в Персидском заливе

Книга американского военного историка Ричарда С. Лаури посвящена операции «Буря в пустыне», которую международная военная коалиция блестяще провела против войск Саддама Хусейна в январе – феврале 1991 г. Этот конфликт стал первой большой войной современности, а ее планирование и проведение по сей день является своего рода эталоном масштабных боевых действий эпохи профессиональных западных армий и новейших военных технологий. Опираясь на многочисленные источники, включая рассказы участников событий, автор подробно и вместе с тем живо описывает боевые действия сторон, причем особое внимание он уделяет наземной фазе войны – наступлению коалиционных войск, приведшему к изгнанию иракских оккупантов из Кувейта и поражению армии Саддама Хусейна.Работа Лаури будет интересна не только специалистам, профессионально изучающим историю «Первой войны в Заливе», но и всем любителям, интересующимся вооруженными конфликтами нашего времени.

Ричард С. Лаури

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / История / Прочая справочная литература / Военная документалистика / Прочая документальная литература
100 способов уложить ребенка спать
100 способов уложить ребенка спать

Благодаря этой книге французские мамы и папы блестяще справляются с проблемой, которая волнует родителей во всем мире, – как без труда уложить ребенка 0–4 лет спать. В книге содержатся 100 простых и действенных советов, как раз и навсегда забыть о вечерних капризах, нежелании засыпать, ночных побудках, неспокойном сне, детских кошмарах и многом другом. Всемирно известный психолог, одна из основоположников французской системы воспитания Анн Бакюс считает, что проблемы гораздо проще предотвратить, чем сражаться с ними потом. Достаточно лишь с младенчества прививать малышу нужные привычки и внимательно относиться к тому, как по мере роста меняется характер его сна.

Анн Бакюс

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Детская психология / Образование и наука