Истина в пределе

Во второй статье он указывает, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными операциями, и формулирует основную теорему анализа: «Подобно степеням и корням в обычном исчислении, а также сумме и разности, J и d являются обратными». Он применяет это утверждение для доказательства теоремы, которую приписывает Барроу, для чего, как и при решении задачи де Бона, которой оканчивается первая статья, он решает дифференциальное уравнение. «Из изложенного в методе касательных очевидно, что

Следовательно, обратной является

¹/₂∙x² = ∫xdx».

Происхождение названия объясняется использованием латинского слова differentia — «разность». Отсюда понятие дифференциала и название «дифференциальное исчисление». Последовав совету Иоганна Бернулли, Лейбниц заменил изначальное название «суммарное исчисление» на «интегральное исчисление». Иоганн Бернулли также предлагал заменить символ ∫ буквой I — первой буквой слова «интеграл». В итоге они договорились сохранить название «интегральное исчисление», предложенное Бернулли, и символ ∫, предложенный Лейбницем. В письме, датированном 28 февраля 1695 года, Лейбниц пишет Иоганну Бернулли: «В будущем было бы лучше с целью единообразия и гармонии не только между нами, но и во всей области изучения использовать термины сумм вместо твоих интегралов. Тогда, например, ∫ydx будет означать сумму всех y, умноженных на соответствующий dx, или сумму всех этих прямоугольников. Я прошу этого главным образом потому, что в этой форме геометрические суммы, или квадратуры, лучше соответствуют арифметическим суммам и суммам рядов. Признаюсь, что открыл весь метод, рассматривая обоюдность сложения и вычитания, а затем в своих рассуждениях перейдя от последовательностей чисел к последовательностям отрезков и ординат».

Лейбниц опубликовал и другие статьи на тему анализа бесконечно малых. Профессор Норберто Куэста Дутари насчитал 27 статей, напечатанных в период с 1684 по 1708 год только в выпусках журнала Acta eruditorum. Первооткрыватели анализа различались и в этом: Лейбниц предпочитал публиковать статьи в научных журналах, чтобы быстрее познакомить общественность с полученными результатами, а Ньютон издавал их в виде книг и постоянно откладывал публикацию.

На службе у Ганноверской династии

Когда Лейбниц вернулся в Германию, он некоторое время оставался без работы, так как фон Бойнебург умер в конце 1672 года, а несколько месяцев спустя скончался сам курфюрст. Он не смог найти ничего лучше, чем должность библиотекаря на службе курфюрста Ганновера. К сожалению для него, должность требовала, чтобы он непрерывно находился в столице Нижней Саксонии, вдали от Парижа, который в те годы был центром европейской науки, культуры и философии.

Ганноверский герцог Брауншвейг-Люнебургский стал его покровителем до конца жизни, однако жизнь в доме герцога не всегда была ему по нраву. В 1678 году он стал личным советником герцога, а в 1685 году занялся изучением истории его семейства. Однако его обязанности на этом не заканчивались. С Лейбницем советовались по вопросам образования; также он занимался инженерным делом и геологией в шахтах, расположенных в горах Гарца, где спроектировал систему дренажа шахт с помощью ветряных мельниц. Затея с мельницами завершилась неудачей и ударила по карману Лейбница, так как ему пришлось оплатить расходы из своего жалования. Часть средств, которые планировалось получить от системы дренажа, должна была пойти на создание академии и развитие characteristica universalis, но этот проект так никогда не был осуществлен. Лейбниц также занимался созданием гидравлических прессов, часов и других устройств. Не будем забывать и о спроектированной им вычислительной машине.

Возможно, наибольших успехов на службе у герцога Брауншвейгского он добился как историк. Лейбниц без устали исследовал старые рукописи из баварских монастырей и итальянских палаццо, эпитафии на заброшенных могилах неизвестных кладбищ кармелитов и в итоге установил родство семьи герцога и древнего княжеского рода Эсте из Модены. Благодаря этим исследованиям герцог Брауншвейгский впоследствии добился того, что его княжество стало новым, девятым курфюршеством Германии, и герцог получил право голоса при избрании императора.

Лейбниц как историк достиг удивительных высот, так как описал не только историю рода герцога, но и попытался составить всеобщую историю Земли, охватывавшую также геологию и археологию, а также провести исследование миграции народов на основе различий и аналогий между языками. Подобно другим грандиозным проектам, этот труд по всеобщей истории так никогда и не был создан, и все идеи ученого растворились в море рукописей и писем.