Истина в пределе

В письмах, отправленных во второй половине 1674-го и в начале 1675 года, Лейбниц сообщил Ольденбургу о своих результатах, полученных, по его словам, отчасти «благодаря редкой удаче». В частности, он ознакомил Ольденбурга (не приведя ни подробностей, ни формулы) с рядом для вычисления числа 71, разложением функции арксинуса в ряд, а также косвенно упомянул метод преобразования. На этот раз Ольденбург ответил ему в более критическом тоне, чем в ранний период их знакомства, так как в то время Лейбниц не скрывал своего дилетантства. Также не приводя ни подробностей, ни формул, он сообщил Лейбницу о результатах, полученных британскими математиками, в частности Ньютоном и Джеймсом Грегори: «Мне хотелось бы обратить ваше внимание на то, что теория и метод измерения кривых, которые использует уже упомянутый Джеймс Грегори, а также Исаак Ньютон, могут быть применены к любой кривой, механической или геометрической». В письме от 20 марта 1675 года Лейбниц просит подробнее рассказать об этих результатах.

Ольденбург переадресовал письмо Коллинзу, после чего 12 апреля направил Лейбницу ответ, в котором указывается разложение в ряд для синуса и арксинуса, полученное Ньютоном, ряды Грегори для тангенса и арктангенса, а также некоторые результаты, касающиеся интерполяции, квадратур и других задач. Как бы то ни было, в письме приводились лишь результаты, но не объяснялось, каким способом они были получены. Лейбниц приписал авторство этих рядов Ольденбургу и, по мнению Хоффмана, не совсем понял, что попало ему в руки, так как пообещал сравнить эти результаты со своими и дать по этому поводу комментарий, но так никогда и не сделал этого. Так как о некоторых из этих рядов Лейбниц узнал позднее и из других источников, это дало Ньютону основания впоследствии обвинить его в плагиате результатов, полученных через Ольденбурга.

Мы можем достаточно точно указать, когда Лейбниц открыл анализ бесконечно малых. Это произошло в конце октября — начале ноября 1675 года, если вообще уместно приводить столь точные даты для такого значимого открытия. В сохранившихся рукописях, которые относятся к этому периоду, особенно тех, что датированы 29 октября и 11 ноября, Лейбниц вводит систему обозначений математического анализа и описывает с ее помощью алгоритм, в котором впоследствии станут заметны различия с работами его предшественников, приводит правила анализа и определяет интегрирование и дифференцирование как взаимно обратные операции. Хоффман пишет: «После того как был сделан этот первый, решающий шаг в сторону «алгебраизации» задач о бесконечно малых, перед этим человеком, умевшим определить характерные и общие элементы среди мешанины похожего, открылась новая картина мира. <…> Он четко понимал, чего не хватает в созданном им математическом анализе, но знал, что эти недостатки можно исправить и что путь в новый мир успешно открыт».

Ключевую роль сыграли работы по решению задач поиска кривой по заданной касательной, которыми Лейбниц занимался в октябре 1675 года. За год до этого он решил задачу определения кривой по известной поднормали.

В рукописи, датируемой 29 октября 1675 года, Лейбниц ввел знак ∫ — стилизованную букву S, первую букву латинского слова summa для обозначения суммы бесконечно малых. До этого использовалась аббревиатура omn. — от латинского de omnium («все»), введенная Кавальери. Лейбниц писал: «Будет удобно записывать omn. как ∫, так что ∫l = omn.l, то есть сумма l».

Далее в этой же рукописи он вводит букву d для обозначения дифференциала.

Изначально он поместил это обозначение в знаменатель: «Это получается обратным расчетом. То есть допустим, что ∫l = уа, где l = ya/d. Тогда с ростом ∫d будет уменьшаться в размерах. Однако ∫ означает сумму, a d — разность».

Спустя несколько дней в рукописи, датированной 11 ноября 1675 года, он переместил d в числитель и записал — как dx. В этой же рукописи Лейбниц задается вопросом о равенстве d(xy) и dxdy, а также

Он делает вывод, что равенство между ними не выполняется, однако не приводит верных формул для нахождения дифференциала произведения и частного.

Чтобы увидеть нечто общее среди беспорядочного множества результатов, полученных его предшественниками при решении задач о квадратурах, центрах тяжести, касательных, задач нахождения кривой по заданной касательной и других, и сформулировать понятия интегрирования и дифференцирования, требовался алгебраический язык. Этот язык Лейбниц в совершенстве освоил во время работы над решением уравнений, проведенной за несколько месяцев вплоть до октября 1675 года. Следует отметить, что Лейбниц не преуспел в решении уравнений, однако освоил язык алгебры, без которого не смог бы впоследствии открыть свой метод математического анализа.

^{Дом, в котором жил Лейбниц во время пребывания в Ганновере.}