Истина в пределе

Похороны Лейбница, умершего 14 ноября 1716 года, также отличались от похорон Ньютона. Возможно, это было вызвано непростыми отношениями Лейбница с Георгом Брауншвейгским, которые ухудшились после смерти в 1705 году его сестры Софии Шарлотты, тогдашней королевы Пруссии, и после смерти матери герцога в 1714 году.

Лейбниц возвратился в Ганновер в середине того же года, проведя более полутора лет в Вене, когда Георг унаследовал британский престол. Лейбниц хотел последовать за своим покровителем в Англию — именно в тот период спор с Ньютоном о первенстве был как никогда ожесточенным. Поэтому Лейбницу хотелось находиться в стране, где его считали врагом, будучи членом королевского двора (чего опасались сторонники Ньютона), и он несколько раз пытался получить в Англии должность историографа.

Хотя Лейбниц в 1700 году блестяще провел дело о праве герцога Брауншвейгского на английский престол, Георг I не хотел, чтобы его придворный историк отвлекался на споры об анализе бесконечно малых, оставив без внимания составление королевской родословной. Поэтому он повелел Лейбницу остаться в Ганновере, что было для него равносильно изгнанию, и практически заключил его под домашний арест, запретив ему в 1715 году длительные поездки и лишив жалования за два с половиной года, поскольку Лейбниц слишком долго находился в Вене. Король был непреклонен: он повелел Лейбницу завершить родословную его династии, носившую название Anuales Imperti Occidentis Brunsvicensis. Этот труд так и не был доведен до конца и, как признавался Лейбниц, был для него сродни сизифовому труду.

Лейбниц был похоронен без почестей, под песнопения, исполненные детским хором, в кругу ближайших родственников и друзей. На похоронах не появился ни один из членов королевского двора, хотя в те самые дни король со своей свитой были на охоте в соседнем поместье. Больше полувека его могила простояла без надписи. Об этом не позаботился ни единственный племянник ученого, который получил от него в наследство хорошее состояние, ни Брауншвейгская династия, которой он верой и правдой служил много лет.

Глава 5. Спор о первенстве

В этой главе мы расскажем о долгом и неприятном споре между Ньютоном и Лейбницем, а также их сторонниками о том, кто же первым открыл анализ бесконечно малых.

Следует вкратце рассказать, чем отличались варианты математического анализа, предложенные Лейбницем и Ньютоном. Так мы лучше сможем оценить, насколько концептуальными были различия между ними.

Начиная с 1666 года Ньютон рассматривал кривые (флюенты) как результат движения точки. Тогда же он сформулировал понятие флюксии — производной по времени. Отметим, что флюксия флюента в данный момент времени (иными словами, мгновенная скорость) — это число. Он разработал алгоритмы вычисления флюксий, эквивалентные современным правилам нахождения производной для сумм, разностей, произведений и дробей, а также показал, что для расчета площади области, ограниченной кривой, достаточно вычислить флюент флюксии. Говоря современным языком, это означает, что нужно найти первообразную функции и применить основную теорему анализа. Именно здесь используются степенные ряды: в соответствии с нынешней терминологией, для расчета флюента флюксии последняя раскладывается в степенной ряд, после чего выполняется почленное интегрирование по правилу нахождения интеграла степенной функции.

Лейбниц, напротив, рассматривал кривые как ломаные линии из прямых отрезков бесконечно малой длины, а касательные — как продолжения этих отрезков. Он полагал, что геометрия кривой, описанная формулой, которой задается кривая, определяет дифференциалы аргумента и функции. Он также «определил» понятия дифференциала и интеграла, точнее говоря, описал их особенности, в отличие от Ньютона, который рассматривал дифференциал функции как бесконечно малую величину. Он доказал, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными операциями, то есть доказал основную теорему анализа и описал процесс вычисления дифференциалов (сформулировал правила вычисления производных), а также вычислил производные элементарных функций. Производные элементарных функций Лейбниц описал в намного более символическом виде, чем Ньютон: Лейбниц отдавал предпочтение свернутым выражениям, а не разложениям в ряд.

Важной особенностью методов Лейбница является то, что он всегда разделял открытие разложения в степенной ряд и открытие анализа бесконечно малых. Открытие разложения в степенной ряд он неизменно приписывал Ньютону, в то время как вокруг анализа бесконечно малых развернулась нешуточная борьба. Лейбниц считал, что первенство принадлежит ему, и полагал, что Ньютон совершил свое открытие, используя письма Лейбница, написанные им в ответ на Epistolae prior и Epistolae posterior. Ньютон же настаивал на том, что оба открытия неразделимы, и утверждал, что Лейбниц, узнав от него о способе разложения в ряд, был обязан ему открытием дифференциального исчисления.