Истина в пределе

1673 года Лейбниц написал Ольденбургу о результатах, касавшихся сумм чисел, обратных фигурным числам. (Ньютон позднее высмеивал эти результаты, так как они были очень простыми.) Когда Ольденбург сообщил, что эти результаты содержатся в книге Quadrature arithmeticae Пьетро Менголи, Лейбниц ошибочно возразил ему, что метод Менголи применим только для конечных, а не для бесконечных рядов. Изучив подробнее труд Менголи, Лейбниц увидел различие между своими результатами и результатами Менголи: они были получены с помощью разных методов.

Ольденбург также выслал Лейбницу результаты, которые Коллинз считал наиболее показательными для британской математики того времени. Эти результаты приводились без доказательств, иногда их было сложно понять, кроме того, при переписывании были допущены ошибки. Так как переписка часто сохранялась в архивах Лондонского королевского общества, целью этих писем было документально зафиксировать первенство английских математиков. Ньютон подробнейшим образом изучил эти письма, чтобы подкрепить обвинения Лейбница в плагиате, хотя Ольденбург отправил Лейбницу не письма Коллинза, а их сокращенный перевод с английского на латынь. Из-за этих сокращений вкупе с ошибками, допущенными при переписывании, письма Ольденбурга было практически невозможно понять.

Лейбниц, получив эти письма, решил, что ему следует уделять больше времени и внимания математике и завершить свое образование. Именно тогда его охватила подлинная страсть к математике. Он более чем на год прервал переписку с Ольденбургом и принялся за работу. По словами Хоффмана, «он прекратил отношения с Ольденбургом, чтобы заняться самообразованием и заполнить пробелы в знаниях, которые он с болью осознавал. Их отношения возобновились лишь в конце лета 1674 года. Тогда Лейбниц был уже другим человеком и превосходно разбирался в предмете».

Лейбниц позднее писал, что обширным знаниям математики он был обязан наставничеству и примеру Гюйгенса. Следуя советам этого голландского ученого, который в то время благосклонно относился к нему, Лейбниц изучил труды Паскаля, Фабри, Грегори, Сен-Венсана, Декарта и де Слюза, а также Меркатора, книгу которого, Logarithmotechnia, он купил в Лондоне, равно как и Lectiones Барроу. Однако эти работы он изучил лишь несколько лет спустя. С книгами остальных авторов он ознакомился в королевской библиотеке, некоторые приобрел. Одной из таких книг было издание «Геометрии» Декарта под редакцией ван Схотена, которое в период жизни в Нюрнберге показалось Лейбницу слишком сложным. Особенно важным стал труд Паскаля Traite des sinus du quart de cercle, в котором рассказывалось о так называемом характеристическом треугольнике — прямоугольном треугольнике, гипотенуза которого является касательной к кривой, а катеты — дифференциалами x и у, как показано на рисунке.

Несколько лет спустя в письме к одному из своих первых учеников Якобу Бернулли Лейбниц написал, что именно эта работа Паскаля со всей ясностью показала ему, что задачи о касательных и квадратурах являются взаимно обратными. Лейбниц добавил, что у Паскаля, должно быть, была повязка на глазах — ничем иным нельзя объяснить то, что он сам не заметил этого. Лейбниц продемонстрировал племяннику Паскаля свою вычислительную машину в июне 1674 года. Паскаль также придумал вычислительную машину, которая, однако, была способна выполнять только сложение и вычитание. Лейбниц выразил сожаление, что некоторые статьи Паскаля были до сих пор не опубликованы, и попросил его племянника отправить ему несколько рукописей этого французского математика и философа.

В течение 1673 года Лейбниц с помощью характеристического треугольника совершил несколько важных открытий. В частности, он открыл метод преобразования, напоминающий современный метод интегрирования по частям. Взяв за основу этот метод, он смог найти разложение в ряд для функции арктангенса и получил свой знаменитый бесконечный ряд, с помощью которого можно вычислить число 71. В декабре 1673 года Лейбниц обсудил с Гюйгенсом возможность решения классической греческой задачи о квадратуре круга с помощью этого ряда.

Далее он занялся решением задач о касательных, взяв за основу метод де Слюза. Хоффман, подробно изучив рукописи Лейбница того периода, сделал вывод, что в своей работе Лейбниц опирался на труды вышеупомянутых авторов, к которым следует добавить Гюйгенса, и не использовал работы Ньютона и Барроу.