Я — математик. Дальнейшая жизнь вундеркинда

Фреше назначил мне первое свидание в лицее на бульваре Сен-Мишель, где он принимал экзамены, а потом пригласил позавтракать с ним в эльзасском brasserie[30] там же на бульваре. Усатый, мускулистый, среднего роста, Фреше внешне походил на спортсмена. Во время войны он служил в армии переводчиком (он хорошо знал английский язык). Фреше, так же как и я, любил пешие прогулки, и тут мы сразу нашли общий язык. Но он все еще не мог принять меня в Страсбурге, — поэтому я решил ненадолго поехать в Бельгию, чтобы навестить своих друзей. Я застал их в Лувене. Они только что привели в порядок свой прекрасный старый дом, в котором во время войны жили немецкие офицеры, приведшие его в мерзкое состояние. К сожалению, я приехал в очень неудачный момент: у них как раз гостили ректор Гарвардского университета Э. Л. Лоуэлл и его жена. Из-за этого меня в основном препоручили детям. Большую часть времени я гулял с младшим сыном хозяев, который только что провел год в Гарвардской юридической школе. Он водил меня по городу, где мы на каждом шагу натыкались на следы пожаров и разрушений. Я осмотрел руины библиотеки, неф церкви, наполовину скрытый от глаз еще не разобранным эшафотом; часто мы бродили по окрестностям и разговаривали.

Освободившись от оков гарвардской дисциплины, мой спутник с жаром нападал на некоторые стороны английской и американской системы обучения юристов. Ему гораздо больше нравилась юриспруденция тех стран, которые позаимствовали свое законодательство у римлян; он считал, что более естественно подводить каждое дело под определенный закон, чем заниматься розысками прецедентов[31].

Пробыв несколько дней в Бельгии, я отправился в Страсбург, решив ехать через Люксембург и заодно побывать в стране железа[32]. Для меня было большим облегчением очутиться среди людей, охотнее говоривших по-немецки, чем по-французски, так как в этом языке я чувствовал себя гораздо более уверенно.

В Страсбурге я снял комнату с пансионом в новой части города. Каждый или почти каждый день я проводил несколько часов у Фреше в маленьком садике около его дома рядом с Илль-Рейнским каналом[33].

В работах Фреше имелось несколько положений, которые мне хотелось развить дальше. Его подход к обобщенным пространствам вовсе не использовал того, что в математике называется «координатами». Иначе говоря, Фреше даже и не пытался представлять точки своих пространств в виде совокупностей чисел. В координатном представлении пространства каждой паре точек, расположенных на концах прямолинейного отрезка, естественно сопоставляется своя совокупность чисел, получаемая вычитанием чисел, описывающих одну из этих точек, из чисел, описывающих другую. В обычной геометрии на плоскости или в трехмерном пространстве такой метод сопоставления определенных чисел каждому прямолинейному отрезку, задаваемому парой его конечных точек, является основой векторного исчисления. В обычном трехмерном пространстве задание вектора, соединяющего какую-либо неподвижную точку с некоторой другой, сводится к указанию, насколько надо продвинуться сперва на север (или на юг) от первой точки, затем на запад (или на восток) и, наконец, после этого вверх (или вниз) для того, чтобы попасть в эту другую точку.

Векторное исчисление не очень новая область математики. Более полутораста лет тому назад люди уже знали, что в трехмерном пространстве существуют «направленные величины» (условно говоря, «величины со стрелками»), которые можно складывать. Так, например, если сделать один шаг в направлении одной стрелки, а затем второй в направлении другой, то совокупность двух шагов можно рассматривать как один «суммарный» шаг в некотором новом направлении. Мы не можем здесь останавливаться на множестве других операций, которые математики умеют производить с такими «направленными величинами». Существенно только подчеркнуть, что, как уже давно было известно, подобное «векторное исчисление» возможно и в пространствах, число измерений которых превосходит три, и даже в бесконечномерных пространствах.

Созданная Фреше общая теория перехода к пределу и дифференцирования применима ко многим различным пространствам и в том числе ко всем векторным пространствам. Однако она вовсе не требует, чтобы элементы пространства обязательно рассматривались как «отрезки со стрелкой». Тем не менее класс векторных пространств представляет собой весьма существенную область приложения общей теории Фреше и, безусловно, заслуживает специального выделения при помощи соответственно подобранной системы аксиом. Фреше, который не считал векторные пространства более важными, чем другие «обобщенные пространства», не пытался продвинуться в этом направлении, я же с горячностью взялся за дело, решив довести его до конца. Теория, к которой я пришел, оказалась тесно связанной с так называемой теорией групп, изучающей правила комбинирования последовательных преобразований любой совокупности объектов; фактически она представляла собой интересный специальный раздел этой весьма общей теории.