Физика в примерах и задачах

Найдём сначала угол , который стержень образует с вертикалью в тот момент, когда сила реакции стержня обращается в нуль. Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекциях на направление к центру окружности (рис. 12.2):

mv^2

l

=

mg

cos

(1)

(l - длина стержня). Входящую в (1) скорость шарика v можно выразить через угол с помощью закона сохранения энергии:

mgl

(1-cos )

=

mv^2

2

.

(2)

Подставляя v^2 из (2) в (1), получим уравнение для определения , которое даёт cos =2/3. Таким образом, свободное движение шарика начинается на высоте 2l/3 со скоростью v=2gl/3. Горизонтальная проекция скорости шарика

v

_г

=

v

cos

=

2

3

2gl/3

(3)

в дальнейшем остаётся неизменной.

Рассмотрим теперь момент удара шарика о горизонтальную плоскость. Модуль скорости v в этот момент будет таким же, как при свободном падении с высоты l: v=2gl Направление скорости проще всего найти, выражая синус угла , образуемого вектором скорости v с вертикалью (рис. 12.2), как отношение v_г/v:

sin

=

v_г

v

=

2

3

3

=

0,385

,

откуда

=22°40'

.

Если бы требовалось определить не только угол , но ещё и скорость или место падения шарика на плоскость, то было бы необходимо задать длину стержня l. Отметим, что разобранная задача имеет много общего с широко известной задачей о соскальзывании шайбы с полусферы или полуцилиндра.

13. Мёртвая петля.

Рис. 13.1. «Мёртвая петля»

Небольшое тело скользит без трения по наклонному жёлобу, который затем переходит в круговую «мёртвую петлю» радиуса R (рис. 13.1). С какой минимальной высоты h должно спускаться тело без начальной скорости, чтобы оно не оторвалось от желоба? Какова должна быть начальная высота для того, чтобы тело смогло преодолеть «мёртвую петлю» с симметрично вырезанной верхней частью (рис. 13.2)?

Рис. 13.2. «Мёртвая петля» с вырезом

Движение тела под действием одной лишь силы тяжести, как известно, происходит по параболической траектории. Поэтому для движения по круговому жёлобу, расположенному в вертикальной плоскости, кроме силы тяжести на тело должны действовать и другие силы. В отсутствие трения такой силой может быть только сила реакции N желоба, направленная по нормали к его поверхности (рис. 13.3). Очевидно, что тело не отрывается от желоба, пока эта сила не равна нулю. Если происходит отрыв тела от желоба, то в точке отрыва сила N обращается в нуль. После отрыва от желоба движение тела происходит только под действием силы тяжести и тело движется по параболе.

Рис. 13.3. Силы, действующие на тело

Предположим, что тело, не отрываясь, движется по жёлобу, и вычислим силу реакции N желоба в произвольной точке, положение которой определяется углом (рис. 13.3). Составим уравнение второго закона Ньютона для этой точки:

mg

+

N

=

ma

.

(1)

Для нахождения модуля силы N спроецируем уравнение (1) на радиальное направление. Поскольку нормальная составляющая ускорения равна v^2/R, из уравнения (1) имеем

mg

cos

+

N

=

mv^2

R

,

(2)

откуда

N

=

mg

v^2

gR

-

cos

.

(3)

В этом выражении скорость v тоже зависит от угла , и её нужно найти для определения N. Это можно сделать, используя проекцию уравнения (1) на касательное направление. Однако такой путь требует умения интегрировать. Поэтому для нахождения скорости удобнее использовать закон сохранения механической энергии.

Поскольку сила реакции желоба в любой точке перпендикулярна скорости тела и, следовательно, работы не совершает, полный запас механической энергии остаётся неизменным. В начальной точке тело обладает только потенциальной энергией, равной mgh. В рассматриваемой точке механическая энергия складывается из кинетической энергии mv^2/2 и потенциальной энергии mgR(1+cos ) (рис. 13.3). Поэтому

mgh

=

mv^2

2

+

mgR

(1+cos )

,

(4)

откуда

v^2

=

2gR

h

R

-1-

cos

.

(5)

Подставляя найденное значение скорости в формулу (3), находим силу реакции N:

N

=

mg

2

h

R

-2-

3cos

.

(6)

Из выражения (6) видно, что наибольшее значение сила N имеет в нижней точке желоба, которой соответствует =, cos =-1:

N

_max

=

mg

2h

R

+

1

.

(7)

Из (7) следует, что сила, с которой тело давит на жёлоб в нижней точке, больше, чем сила тяжести mg. Только в том случае, когда начальная высота h равна нулю (т.е. тело просто лежит в нижней точке желоба), оно давит на жёлоб с силой, равной mg.

Из выражения (6) также видно, что сила N монотонно убывает по мере подъёма тела по жёлобу и достигает наименьшего значения в высшей точке, которой соответствует =0, cos =1:

N

_min

=

mg

2h

R

-

5

.

(8)

Если тело не отрывается от желоба в верхней точке, то оно не оторвётся и ни в какой другой. Поэтому формула (8) позволяет найти ту минимальную начальную высоту h_min, при которой тело совершает полный оборот, не отрываясь от желоба. Полагая в (8) N_min=0, находим

h

_min

=

5R

2

.

(9)

Рис. 13.4. В разрыве «петли» между точками A и B тело движется по параболе