Физика в примерах и задачах

(F-y)^2+x^2

.

Это и есть уравнение искомой поверхности.

Преобразуем это соотношение, чтобы выяснить форму полученной поверхности. Уединяя квадратный корень, и возводя обе части равенства в квадрат, получаем

(Fn-y)^2

=

n^2[

(F-y)^2

+

x^2]

.

После несложных преобразований это уравнение приводится к виду

x^2

a^2

+

(y-b)^2

b^2

=

1,

(1)

где

a

=

F

n-1

n+1

1/2

,

b

=

F

n

n+1

(ab)

.

(2)

Уравнение (1) - это уравнение эллипса, изображённого на рис. 6.3, a и b - малая и большая полуоси этого эллипса.

Рис. 6.3. Пучок параллельных лучей после преломления на поверхности эллипсоида вращения собирается в дальнем фокусе

Как известно, эллипс - это геометрическое место точек, сумма расстояний до которых от двух заданных точек, называемых фокусами, одинакова. Эта сумма равна большой оси эллипса 2b. Можно убедиться, что точка пересечения всех лучей (фокус пучка лучей) совпадает с дальним фокусом эллипса. Это совсем несложно, требуется лишь выполнить простые алгебраические преобразования.

Итак, мы нашли форму преломляющей поверхности, удовлетворяющей поставленному условию: все падающие на неё параллельным пучком лучи собираются в одной точке. Однако такой параллельный пучок не может быть сколь угодно широким: при заданном расстоянии F ширина пучка d не может, как видно из формулы (2), превышать значение

d

=

2a

=

2F

n-1

n+1

1/2

.

Теперь подумаем, как с помощью такой преломляющей поверхности можно создать линзу, свободную от сферической аберрации для параллельного пучка лучей. Очевидно, что вторая преломляющая поверхность такой линзы должна быть перпендикулярна всем сходящимся лучам, так как только в этом случае ома не изменит их направления и все лучи по-прежнему будут пересекаться в одной точке F. Такой поверхностью является сфера с центром в точке F. Чтобы получить линзу максимального диаметра при заданном расстоянии F, радиус R кривизны её внутренней поверхности следует выбирать равным большой полуоси эллипса b (рис. 6.4).

Рис. 6.4. Вторая поверхность фокусирующей линзы должна быть частью сферы, перпендикулярной лучам

До сих пор молчаливо предполагалось, что показатель преломления n1, т.е. верхняя среда на рис. 6.2 оптически более плотная.

Однако если под символом n понимать относительный показатель преломления верхней среды относительно нижней, то имеет смысл рассмотреть и противоположный случай n1, когда параллельный пучок лучей испытывает преломление при переходе из более плотной в менее плотную среду. Поскольку при выводе уравнения преломляющей поверхности условие n1 не использовалось, то и в случае n1 уравнение искомой границы по-прежнему даётся формулой (1), но только при n1, как видно из (2), a^20. В этом случае выражение (1) представляет собой уравнение гиперболы, изображённой на рис. 6.5.

Рис. 6.5. При n1 фокусирующая параллельный пучок поверхность представляет собой гиперболоид вращения

Чтобы с помощью такой преломляющей поверхности создать линзу, в качестве второй преломляющей поверхности следует выбрать плоскость в нижней среде, перпендикулярную оси пучка. Расстояние от этой плоскости до вершины преломляющей поверхности выбирается в зависимости от того, какого диаметра мы хотим иметь линзу. Ограничений на размер диаметра теперь нет (штриховая прямая на рис. 6.5).

Казалось бы, нам удалось построить идеальную линзу, по крайней мере для монохроматических лучей. Однако такая линза совершенно непригодна для получения изображений даже бесконечно удалённых предметов. В самом деле, в одной точке пересекаются только лучи, параллельные оси симметрии такой линзы. Пучки параллельных лучей, наклонённые к оптической оси линзы, не пересекаются в одной точке.

7. Черенковское излучение.

При равномерном движении электрона в среде со скоростью, превышающей скорость света в данной среде, наблюдается так называемый эффект Вавилова - Черенкова. Он заключается в том, что электрон своим полем когерентно возмущает молекулы или атомы среды, благодаря чему они становятся источниками световых волн, распространяющихся в определённом направлении. Пользуясь принципом Гюйгенса, определите, в каком направлении распространяется излучение.

В среде с показателем преломления n1 световые волны распространяются со скоростью v=c/n, которая меньше скорости света в вакууме.

Рис. 7.1. Построение по принципу Гюйгенса фронта волны, излучаемой электроном, скорость которого больше скорости света в данной среде