Физика в примерах и задачах

В действительности из-за конечности углового диаметра Солнца (0,01) границы тени на стене от краёв отверстия в экране будут размыты. Очевидно, что полученные выше результаты справедливы, когда ширина полутени много меньше размеров светлого пятна (т.е. размеров зеркала). Ширина полутени d'=L где L - расстояние от отверстия до стены (рис. 2.2). Итак, форма солнечного зайчика повторяет форму зеркала при условии Lкак 0,01, то рассматриваемое условие принимает вид

L100 d

.

При d10 см это даёт L10 м.

2. Стена расположена далеко от отверстия (от зеркала). Теперь в первом приближении отверстие в экране можно считать точечным. Его форма не играет роли, и всё определяется конечным угловым размером Солнца. Освещённое пятно на стене - это как бы изображение Солнца в камере-обскуре. Оно представляет собой сечение плоскостью стены кругового конуса солнечных лучей с вершиной в отверстии и углом а при вершине, равным угловому диаметру Солнца (рис. 2.3). Если стена перпендикулярна оси конуса лучей, то светлое пятно представляет собой круг диаметром d=L. При наклоне стены на угол этот круг превращается в эллипс с большой осью

d

=

d

cos

=

L

cos

.

Рис. 2.3. Форма зайчика, когда стена далеко от отверстия

С увеличением размеров отверстия (т.е. зеркала) освещённость пятна возрастает (зайчик становится ярче), но одновременно его края становятся более размытыми. Очевидно, что это размытие порядка размеров отверстия d. Таким образом, солнечный зайчик имеет эллиптическую (или круглую) форму, если d=L, т.е. при L>>100d.

Из приведённого решения ясно, что безразмерным параметром , которым определяется форма солнечного зайчика, является отношение углового диаметра Солнца к угловому размеру зеркала, т.е. к углу , под которым оно видно от стены:

=

=

L

d

.

При 1 реализуется первый из рассмотренных случаев, при >>1 - второй.

Проведённое рассмотрение целиком основывалось на законе геометрической оптики о прямолинейном распространении света. Исчерпывающее решение должно учитывать дифракционные эффекты, которые проявляются в отклонении от закона прямолинейного распространения света при его прохождении сквозь отверстие в экране. Угол дифракционного отклонения света по порядку величины равен отношению длины световой волны к размеру отверстия d:

=

d

(подробнее об этом см. в задаче «Фокусировка фотоаппарата»), Дифракционные эффекты не влияют на форму солнечного зайчика, если угол мал по сравнению с угловым размером Солнца :

d

.

Считая 5·10^-7 м, 0,01, находим, что дифракционные эффекты не существенны, если размер d зеркала превышает 5·10^-5 м.

3. Преломление света в стеклянном клине.

Рис. 3.1. Преломление лучей в стеклянном клине

Свет падает по нормали на грань стеклянного клина с малым углом при вершине (рис. 3.1). На какой угол повернутся лучи преломлённого клином света при повороте падающих лучей на небольшой угол вокруг ребра клина?

Рис. 3.2. К определению угла поворота луча

Ответ на поставленный вопрос можно получить, последовательно применяя закон преломления света на плоской границе раздела двух сред. Так как по условию все фигурирующие в задаче углы малы, то их синусы в законе преломления можно заменить самими углами, выраженными в радианной мере. Лучи, падающие нормально на переднюю грань клина, испытывают преломление только на задней грани, угол падения на которую равен преломляющему углу клина (рис. 3.2). Если угол поворота этих лучей обозначить через , то

n

sin

=

sin(+)

,

(1)

откуда для малых значений углов и следует

n

+

,

т.е.

(n-1)

.

(2)

Лучи, падающие на переднюю грань наклонно (под углом ), испытывают преломление на обеих гранях клина (рис. 3.2). На передней грани

sin

=

n sin

,

(3)

откуда угол преломления на передней грани /n. На задней грани клина выполняется соотношение

n

sin(+)

=

sin(+)

,

откуда

n

(+)

+

,

(4)

т.е. угол преломления на задней грани n+(n-1). Учитывая, что вследствие (3) n=, имеем

+

(n-1)

.

(5)

Угол поворота преломлённых лучей, как видно из рис. 3.2, равен разности углов и :

-

=

.

Таким образом, преломлённый луч поворачивается на такой же угол, что и падающий.

Фактически ответ на поставленный в условии задачи вопрос содержится уже в формуле (5), поскольку разность - как видно из рис. 3.2, даёт угол отклонения лучей от их первоначального направления при прохождении света через клин. Из (5) следует, что -=(n-1), т.е. при малых углах угол отклонения не зависит от угла падения .

Рис. 3.3. Поворот волнового фронта при преломлении света в клине

Угол отклонения -, выражаемый формулой (5), можно найти без использования закона преломления, если воспользоваться принципом Гюйгенса или принципом Ферма. На рис. 3.3 штриховыми линиями показаны положения волновых поверхностей для падающей и отклонённой клипом плоских волн. Поворот волнового фронта обусловлен уменьшением фазовой скорости света в стекле в n раз. Время прохождения света на участке CFD равно времени на участке AB. Поэтому должны быть равны оптические длины этих участков:

|CF|

+

n|FD|

=

|AB|

.

(6)