Физика пространства - времени

Выражение энергии через импульс: ньютоновский и ультрарелятивистский предельные случаи

Когда импульс 𝑝 мал по сравнению с 𝑚 (т.е. когда скорость β весьма мала по сравнению с единицей —«нерелятивистский предел»), выражение (87) можно разложить, пользуясь формулой для бинома или каким-либо иным способом, и получить

𝐸=𝑚

⎡

⎢

⎣

1+

⎛

⎜

⎝

𝑝

𝑚

⎞²

⎟

⎠

⎤½

⎥

⎦

=𝑚+

𝑝²

2𝑚

+

𝑝⁴

8𝑚³

+…

(малые

𝑝

).

При достаточно малых значениях импульса 𝑝 этот ряд можно с любой степенью точности приравнять его первым двум членам

𝐸≈𝑚

𝑝²

2𝑚

(малые

𝑝

).

(88)

Первое слагаемое имеет здесь смысл энергии покоя, а второе представляет собой ньютоновское выражение для кинетической энергии частицы с импульсом 𝑝.

Если же импульс 𝑝 очень велик по сравнению с 𝑚 («ультрарелятивистский предел»), то точное выражение (87) снова может быть разложено в степенной ряд, на этот раз в виде

𝐸=𝑝

⎡

⎢

⎣

1+

⎛

⎜

⎝

𝑚

𝑝

⎞²

⎟

⎠

⎤½

⎥

⎦

=𝑝+

𝑚²

2𝑝

+

𝑚⁴

8𝑝³

+…

(большие

𝑝

).

Если импульс достаточно велик, этот ряд можно с любой желаемой степенью точности приравнять его первому слагаемому:

𝐸≈𝑝

(ультрарелятивистский предел).

(89)

В этом предельном случае масса покоя не играет роли во взаимной связи импульса и энергии.

Правдоподобно ли, что катеты 𝐸 и 𝑝 треугольника на рис. 90 могут неограниченно возрастать, в то время как гипотенуза 𝑚 остаётся постоянной и оказывается меньше любого из катетов? Возможно ли, чтобы в прямоугольном треугольнике гипотенуза сохраняла постоянную длину, в то время как катеты неограниченно удлинялись? Такое поведение длин гипотенузы и катетов в корне противоречит законам эвклидовой геометрии. Однако рассматриваемая нами геометрия не является эвклидовой, а в лоренцевой геометрии пространства-времени квадрат гипотенузы равен разности квадратов катетов. Поэтому сочетание не изменяющейся в длине гипотенузы с неограниченно растущими и в пределе равными друг другу катетами, 𝐸 и 𝑝, отнюдь не парадоксально.

Импульс как мера скорости переноса массы-энергии

Можно и иначе убедиться в том, что энергия должна приближаться по величине к импульсу, когда каждая из этих величин становится много больше, чем масса покоя. В самом общем случае, без каких бы то ни было приближений, из формул

𝑝

=

𝑚β

√1-β²

и

𝐸

=

𝑚

√1-β²

следует результат

𝑝

=

β𝐸

 (для всех скоростей).

(90)

Из этого равенства следует, что импульс 𝑝 неограниченно приближается по своей величине к энергии 𝐸, когда скорость становится сколь угодно близкой к скорости света.

Существует очень наглядная интерпретация равенства (90). Здесь 𝐸 описывает массу-энергию частицы, а β — скорость, с которой движется эта масса-энергия. Поэтому их произведение, импульс 𝑝, является мерой скорости переноса массы-энергии. Любопытно, что множитель, описывающий в этой формуле массу-энергию [величина 𝐸 в равенстве (90)], не равен той массе 𝑚, появления которой можно было бы ожидать из теории Ньютона. За перенос массы-энергии ответственна не одна лишь масса покоя, но сумма массы покоя с массовым эквивалентом кинетической энергии, иными словами, полная масса-энергия 𝐸.

Рис. 91. Решать, какая из релятивистских формул удобна для анализа экспериментальных данных, следует исходя из величин, измеряемых на опыте:

а) Скорость определяется по времени полёта, энергия — из закона сохранения, применённого к предыдущим или последующим столкновениям.

б) Полезна при анализе столкновений, когда нас не интересует скорость, а внимание сосредоточено на проверке или применении законов сохранения.

в) Скорость определяется по времени полёта, импульс — по искривлению трека частицы в магнитном поле.

г) Для нахождения 𝑝, или β, или 𝐸, когда две из величин известны; 𝑚 не представляет интереса.

Масса покоя непосредственно не представлена в равенстве 𝑝=β𝐸. Мы помещаем это равенство поэтому в центр рис. 91 и размещаем вокруг него прочие ключевые формулы, связывающие энергию, импульс и скорость. Связи между каждой из них обладают своими специфическими областями применения, как это указано в подписи к рисунку.

Мы ничего не говорили в нашем исследовании импульса и энергии о внутренней структуре (если таковая имеется) объекта — носителя этих характеристик. Этот объект может быть ракетой, сложной органической молекулой, элементарной частицей или даже фотоном — элементарным квантом света. Во всех случаях движение такого объекта совершается со скоростью, меньшей скорости света, за исключением, конечно, самого света. Для света, распространяющегося в вакууме, скорость β в точности равна единице. В этом случае формулы

𝑝

=

𝑚β

√1-β²

и

𝐸

=

𝑚

√1-β²

с очевидностью теряют всякий смысл, но зато равенство (90) приобретает исключительную простоту.

𝑝

=

𝐸

⎛

⎜

⎜

⎝

для любого вида энергии,

распространяющегося

со скоростью света

⎞

⎟

⎟

⎠

(91)