Физика пространства - времени

Такое же уравнение можно записать для этих частиц и после столкновения (две отдельные частицы после упругого столкновения; одна объединённая частица при неупругом ударе и много частиц, если неупругий удар сопровождался дроблением). Можно следующим образом сопоставить эти уравнения до и после столкновения:

До столкновения

: полная

𝑥

-компонента импульса, наблюдаемая в системе отсчёта ракеты

=

До столкновения

: полная

𝑥

-компонента импульса, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта

ch θ

_𝑟

-

До столкновения

: полная релятивистская энергия, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта

sh θ

_𝑟

(79)

↑

↑

↑

1-й этап

: эти члены равны друг другу ввиду закона сохранения импульса!

2-й этап

: эти члены равны друг другу ввиду закона сохранения импульса!

Вывод

: эти члены равны друг другу, что доказывает сохранение релятивистской энергии!

↓

↓

↓

После столкновения

: полная

𝑥

-компонента импульса, наблюдаемая в системе отсчёта ракеты

=

После столкновения

: полная

𝑥

-компонента импульса, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта

ch θ

_𝑟

-

После столкновения

: полная релятивистская энергия, наблюдаемая в лабораторной системе отсчёта

sh θ

_𝑟

(80)

Второй раз в этой главе мы потребуем, чтобы импульс сохранялся при столкновениях как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе отсчёта ракеты. Ввиду этого требования каждая из скобок, обозначающая импульс в уравнении (79), будет равна соответствующей скобке, обозначающей импульс в уравнении (80). Если справедливы оба уравнения, причём соответствующие скобки для импульсов равны друг другу, то скобки, обозначающие энергию, также должны быть равны. Поэтому в лабораторной системе отсчёта полная релятивистская энергия одинакова до и после столкновения: полная релятивистская энергия при столкновениях сохраняется.

Свойства полной релятивистской энергии

Из этих рассуждений мы получаем три вывода. Во-первых, мы можем сопоставить каждой частице массы 𝑚 «релятивистскую энергию»

𝐸

=

𝑚

𝑑𝑡

𝑑τ

.

Во-вторых, если имеется несколько свободно движущихся частиц, то релятивистская энергия этой системы равна сумме релятивистских энергий отдельных частиц. В-третьих, когда эти частицы разлетаются друг от друга после соударений и энергии отдельных частиц изменяются, полная релятивистская энергия системы остаётся той же, какой она была до столкновения (сохранение релятивистской энергии).

Свойство аддитивности, когда энергия системы свободных частиц равна сумме энергий отдельных частиц системы, знакомо нам на примере импульса, когда полный импульс физической системы складывается из импульсов входящих в неё частиц. Факт такой аддитивности говорит о том, что для нахождения энергии системы частиц достаточно вычислить энергии всех входящих в неё частиц по отдельности.

Другие способы выражать энергию

Выражение для релятивистской энергии частицы может быть записано множеством способов, причём целесообразность использования каждого из них зависит от обстоятельств. Так, согласно рис. 89, мы получим

𝐸

=

𝑚

𝑑𝑡

𝑑τ

=

𝑚

√1-β²

=

𝑚 ch θ

.

(81)

Какие можно сделать заключения о связи между релятивистской энергией 𝐸 и скоростью из этого соотношения? Какие заключения можно сделать отсюда о связи между 𝐸 и энергией в ньютоновской теории? Между энергией и импульсом? При очень малых скоростях β можно разложить выражение для релятивистской энергии в ряд по степеням β, пользуясь формулой бинома или каким-либо другим методом:

𝐸

=

𝑚

√1-β²

=

𝑚⋅(1-β²)⁻¹

^/

²

=

=

𝑚

⎛

⎜

⎝

1

+

β²

2

+

3

8

β²

+

…

⎞

⎟

⎠

.

Если скорость β достаточно мала, в этом разложении можно ограничиться с любой желаемой степенью точности первыми двумя членами:

𝐸

≈

𝑚

⎛

⎜

⎝

1

+

β²

2

⎞

⎟

⎠

=

𝑚

+

𝑚β²

2

⎛

⎜

⎝

малые

скорости

⎞

⎟

⎠

.

(82)

Но здесь ½𝑚β² — обычное ньютоновское выражение для кинетической энергии, взятое в единицах массы. Значит, релятивистская энергия имеет отношение к кинетической энергии частицы, хотя она (величина 𝐸) и не равна этой кинетической энергии ввиду наличия добавочного члена 𝑚. Этот добавочный член сохраняется, даже если частица находится в состоянии покоя, т.е. вообще лишена кинетической энергии. Поэтому член 𝑚 называют энергией покоя 𝐸_покоя частицы,

𝐸

_покоя

=

𝑚

⎛

⎜

⎝

энергия покоя в

единицах массы

⎞

⎟

⎠

(83)

Выражение для энергии покоя частицы в обычных единицах 𝐸_{покоя обычн} можно получить из выражения для энергии покоя в единицах массы, умножая последнее на множитель перевода 𝑐². Мы приходим тогда к знаменитому выражению

𝐸

_{покоя обычн}

=

𝑚𝑐²

⎛

⎜

⎝

энергия покоя в

обычных единицах

⎞

⎟

⎠

(84)

Включение энергии покоя существенно для выполнения закона сохранения