Физика пространства - времени

В другом представлении используются нижние индексы (ковариантные компоненты), однако все пространственные компоненты при этом меняют знак: 𝑝_𝑡 = 𝑚

𝑑𝑡

𝑑τ ,  𝑝_𝑥 =- 𝑚

𝑑𝑥

𝑑τ ,  𝑝_𝑦 =- 𝑚

𝑑𝑦

𝑑τ ,  𝑝_𝑧 =- 𝑚

𝑑𝑧

𝑑τ .

Эти два альтернативных представления, использующие контравариантные и ковариантные компоненты (верхние и нижние индексы), применимы не только к 𝑝, но и к другим 4-векторам, например к радиусу-вектору 𝑅, соединяющему начало координат некоторой инерциальной системы отсчета с каким-либо данным событием (мировой точкой), так что 𝑅^𝑡 = 𝑡 ,  𝑅^𝑥 = 𝑥 ,  𝑅^𝑦 = 𝑦 ,  𝑅^𝑧 = 𝑧

и 𝑅_𝑡 = 𝑡 ,  𝑅_𝑥 =- 𝑥 ,  𝑅_𝑦 =- 𝑦 ,  𝑅_𝑧 =- 𝑧 .

В этих обозначениях инвариантный квадрат интервала для события, отделенного от начала временноподобным интервалом, имеет стандартный вид τ² = 𝑅^𝑡𝑅_𝑡 + 𝑅^𝑥𝑅_𝑥 + 𝑅^𝑦𝑅_𝑦 + 𝑅^𝑧𝑅_𝑧 = = 𝑡² - 𝑥² - 𝑦² - 𝑧² .

Если же интервал является пространственноподобным, его квадрат следует записывать как σ² =-( 𝑅^𝑡𝑅_𝑡 + 𝑅^𝑥𝑅_𝑥 + 𝑅^𝑦𝑅_𝑦 + 𝑅^𝑧𝑅_𝑧 )= =- 𝑡² + 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² .

4-вектор энергии-импульса является временноподобным 4-вектором по весьма простой причине: ведь две последовательные мировые точки на мировой линии одной и той же частицы разделены временноподобным интервалом. Поэтому квадрат абсолютной величины этого вектора следует вычислять по формуле, аналогичной формуле для τ², т. е.

⎛

⎜

⎜

⎝

Квадрат

абсолютной

величины

⎞

⎟

⎟

⎠ = 𝑝_𝑡 𝑝^𝑡 + 𝑝_𝑥 𝑝^𝑥 + 𝑝_𝑦 𝑝^𝑦 + 𝑝_𝑧 𝑝^𝑧 = =

𝑚²[(𝑑𝑡)²-(𝑑𝑥)²-(𝑑𝑦)²-(𝑑𝑧)²]

𝑑τ² = 𝑚² .

В геометрии Эвклида, где векторы обладают лишь пространственными компонентами, такое различие между верхними и нижними индексами несущественно, и там часто используются лишь нижние индексы, причем в эвклидовой геометрии знак пространственных контравариантных и ковариантных компонент берется один и тот же. Однако в геометрии пространства-времени, где существует разница в знаке пространственных компонент, взятых с верхними или с нижними индексами, необходимо явно учитывать контравариантность и ковариантность компонент. Кроме того, обычно удобнее работать с контравариантными компонентами 4-векторов (верхние индексы!), так как именно эти компоненты часто бывают непосредственно связаны с координатами мировых точек, дифференциалы радиусов-векторов которых являются контравариантными по определению в произвольных системах координат (не только в декартовых).

[В оригинале книги это примечание имело несколько иной вид, а именно авторы приняли, что при переходе от контравариантных к ковариантным компонентам изменяют знак не пространственные, а временная компонента 4-векторов, что позволяет проще увязать изложение с эвклидовой геометрией для 3-мерных векторов. Однако в современной литературе, особенно по общей теории относительности, преобладает противоположный выбор сигнатуры, так что многие авторы перешли к принятой нами здесь записи компонент векторов и в частной теории относительности, например Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц в последнем издании (1967 г.) «Теории поля». Для того чтобы стандартизировать изложение, переводчику пришлось несколько изменить данное примечание, сохранив общий стиль авторов. Следует отметить, что здесь, как и в других частях книги, они предполагают, что используются лишь декартовы системы координат; если бы мы не ограничивались здесь декартовыми координатами (перейдя, например, к сферическим координатам), нам пришлось бы явно проводить различие между ковариантными и контравариантными компонентами векторов уже в 3-мерном эвклидовом пространстве. Тогда радиус-вектор не был бы истинным вектором: свойствами вектора обладали бы лишь его бесконечно малые приращения.— Прим. перев.]

В обеих формулах слагаемые, стоящие справа, зависят от состояния движения частицы или той системы отсчёта, в которой производится наблюдение. Иными словами, отдельные компоненты 4-вектора энергии-импульса (энергия частицы 𝐸 и её импульс 𝑝) обладают разными значениями в лабораторной системе отсчёта и в системе отсчёта ракеты. Левые части каждого из этих соотношений (масса покоя 𝑚 и интервал τ), напротив, одинаковы во всех системах отсчёта.

Явное выражение для энергии через импульс можно получить из формулы (86), разрешая её относительно 𝐸:

𝐸

=

√

𝑚²+𝑝²

.

(87)

Это выражение справедливо в равной мере как при больших, так и при малых импульсах, причём его можно упростить для обоих предельных случаев.