Физика пространства - времени

4-вектор определяется заданием в каждой инерциальной системе отсчёта четырёх чисел (различных в разных системах!), причём эти числа преобразуются при переходах между системами отсчёта по формулам преобразования Лоренца (32).

3-вектор определяется заданием в каждой эвклидовой системе координат трёх чисел (компонент, различных в разных системах координат!), причём эти числа преобразуются при переходах между системами координат по соответствующим формулам преобразования поворота геометрии Эвклида (29).

Зная, что некоторая величина — вектор, и зная значения её компонент лишь в одной системе отсчёта, можно сразу же найти значения её компонент в любой другой системе отсчёта, используя соответствующий 3- или 4-мерный закон преобразования компонент.

Энергия как четвёртая компонента 4-вектора энергии-импульса

Мы ожидаем, что подобным же образом можно будет понять смысл импульса и энергии частицы на любом заданном этапе её истории, понять их как компоненты и не более как компоненты 4-вектора, существующего независимо от всякого выбора координат. Более того, связь такого «4-вектора энергии-импульса» с 4-вектором смещения 𝐴𝐵 не будет ни косвенной, ни далёкой. Разве может быть что-либо более последовательным и прямым, чем следующая цепочка рассуждений:

1) Берётся 4-вектор смещения 𝐴𝐵 с компонентами

𝑑𝑡

,

𝑑𝑥

,

𝑑𝑦

,

𝑑𝑧

(см. рис. 87).

Рис. 87. 4-вектор перемещения 𝐴𝐵, соединяющий события 𝐴 и 𝐵 на мировой линии частицы. Он изображён здесь для частного случая, когда 𝑦- и 𝑧- компоненты перемещения 𝑑𝑦 и 𝑑𝑧 одновременно равны нулю.

2) С помощью 4-вектора 𝐴𝐵 строится единичный касательный вектор путём деления его на интервал собственного времени

𝑑τ

=

√

(𝑑𝑡)²-(𝑑𝑥)²-(𝑑𝑦)²-(𝑑𝑧)²

,

взятый между мировыми точками 𝐴 и 𝐵 компоненты этого касательного вектора

𝑑𝑡

𝑑τ

,

𝑑𝑥

𝑑τ

,

𝑑𝑦

𝑑τ

,

𝑑𝑧

𝑑τ

изображены на рис. 88.

Рис. 88. Единичный касательный вектор к мировой линии частицы, полученный делением 4-вектора перемещения 𝐴𝐵 (рис. 87) на инвариантный интервал собственного времени 𝑑τ. Временная и пространственная компоненты единичного вектора касательной равны

𝑑𝑡

𝑑τ =

𝑑𝑡

√(𝑑𝑡)²-(𝑑𝑥)² =

1

√1-(𝑑𝑥/𝑑𝑡)² =

1

√1-β² = = 1 = 1 = √1-th²θ

⎛

⎜

⎝ ch²θ  -  sh²θ

⎞

⎟

⎠

½

  ch²θ ch²θ =

ch θ

√ch²θ-sh²θ = ch θ

и

𝑑𝑥

𝑑τ =

𝑑𝑥

√(𝑑𝑡)²-(𝑑𝑥)² =

𝑑𝑡/𝑑𝑥

√1-(𝑑𝑥/𝑑𝑡)² =

β

√1-β² = = th θ = th θ = √1-th²θ

⎛

⎜

⎝ ch²θ  -  sh²θ

⎞

⎟

⎠

½

  ch²θ ch²θ =

th θ ch θ

√ch²θ-sh²θ = sh θ .

(В приведённом здесь частном случае полная пространственная компонента перемещения 𝑑𝑟 равна 𝑥-компоненте перемещения 𝑑𝑥. В более общем случае пространственная часть перемещения имеет вид 𝑑𝑟=√(𝑑𝑥)²+(𝑑𝑦)²+(𝑑𝑧)², и тогда она даёт пространственную компоненту единичного вектора касательной, равную

𝑑𝑟

𝑑τ =

β

√1-β² sh θ .

⎞

⎟

⎠

3) 4-вектор энергии-импульса получается при умножении этого единичного вектора на постоянную 𝑚; его компоненты равны

𝐸

=

𝑝

^𝑡

=

𝑚

𝑑𝑡

𝑑τ

,

𝑝

^𝑥

=

𝑚

𝑑 𝑥

𝑑τ

,

𝑝

^𝑦

=

𝑚

𝑑 𝑦

𝑑τ

,

𝑝

^𝑧

=

𝑚

𝑑 𝑧

𝑑τ

(77)

(см. рис. 89).

Рис. 89. 4-вектор энергии-импульса, полученный при умножении единичного вектора касательной (рис. 88) на постоянную массу 𝑚 частицы. Временная компонента его называется «релятивистской энергией» и обозначается через 𝐸.

Подробности хода этих рассуждений и различные формы записи пространственных и временных компонент всех этих трёх 4-векторов приведены на рисунках. Не может быть никакого сомнения в том, что 4-вектор (𝑑𝑡, 𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧) остаётся 4-вектором после деления его на величину 𝑑τ и умножения на величину 𝑚, которые обе остаются одинаковыми во всех системах отсчёта.

Сохранение энергии 𝐸 в одной системе отсчёта следует из сохранения импульса во всех системах отсчёта