Физика пространства - времени

1) Частный случай. Два массивных шарика высвобождаются в состоянии покоя; оба находятся на высоте 250 м над поверхностью Земли; расстояние между ними -25 м (рис. 46). Покажите, что расстояние между ними уменьшится примерно на 10⁻³ м, прежде чем они упадут на Землю. (Воспользуйтесь методом подобных треугольников или каким-нибудь близким методом. Этот пример обсуждался нами на стр. 19). Время падения с высоты 250 м с ускорением 9,8 м/сек² равно приблизительно 7 сек, или 21⋅10⁸ м светового времени. Итак, падающий железнодорожный вагон может рассматриваться как инерциальная система отсчёта при условиях, что:

Условия

,

соответствующие тому

,

что отличие от идеальной инерциальной системы отсчёта ненаблюдаемо

ε

(

наименьшее отличие

,

доступное обнаружению при помощи данных приборов)

ε≥1⋅10⁻³

м

𝑟

(

расстояние от центра Земли

)

Δ

𝑥

(

расстояние по горизонтали

)

Δ

𝑦

и

Δ

𝑧

(

протяжённость области в двух других направлениях

)

Δ

𝑡

(

время наблюдения

)

𝑟≥𝑟₀=6,4⋅10⁶

м

Δ

𝑥=𝐿≤25

м

При обсуждении взяты равными нулю; мы их приравняем нулю и здесь, так как в дальнейшем они не рассматриваются [часть (в)]

Δ

𝑡≤21⋅10⁸

м

(7

сек

)

2) Более общий случай. Пробная частица 𝐵 отстоит на расстоянии Δ𝑥 от пробной частицы 𝐴. Обе они находятся на одинаковом расстоянии 𝑟 от центра притяжения и рассматриваются в течение времени Δ𝑡. Обозначим через 𝑎 общую величину ускорения этих частиц под действием притягивающего центра (в м/сек²), а через 𝑎*=𝑎/𝑐² — величину того же ускорения, измеренную в метрах расстояния за квадратный метр времени. Показать, что ускорение частицы 𝐵 относительно 𝐴, (Δ𝑎^𝑥)* (в метрах расстояния на квадратный метр времени), даётся формулой

(

Δ

𝑎

^𝑥

)*

=-

Δ𝑥

𝑟

𝑎*

.

(52)

(Считать входящие в рассмотрение углы настолько малыми, что их синусы и тангенсы можно приравнять друг другу).

б) Отличие второго рода: относительное ускорение параллельно направлению притяжения.

1) Общий случай. Пробная частица 𝐵 отстоит на расстоянии Δ𝑧 от пробной частицы 𝐴, и на одной прямой с ними на расстоянии 𝑟 находится притягивающий центр. Таким образом, частица 𝐵 находится дальше от центра, чем 𝐴, и на неё действует меньшая сила. Поэтому 𝐵 отстаёт в своём падении от 𝐴, а наблюдатель, расположенный на 𝐴, найдёт, что на 𝐵 действует ускорение в положительном направлении оси 𝑧. Показать, что это относительное ускорение (выраженное в метрах расстояния за квадратный метр времени) равно

(

Δ

𝑎

^𝑧

)*

=

+2

Δ𝑧

𝑟

𝑎*

.

(53)

(Совет: воспользуйтесь тем фактом, что величина 𝑎* убывает обратно пропорционально квадрату расстояния по закону всемирного тяготения Ньютона: 𝑎*=const/𝑟². Возьмите разность сил на расстояниях 𝑟 и 𝑟+Δ𝑧 Воспользуйтесь чрезвычайной малостью Δ𝑧 (каких-нибудь несколько метров) до сравнению с 𝑟 (тысячи километров) и упростите результат).

Рис. 47. Освобождённые на одной вертикали, но на разных высотах грузы удаляются друг от друга в процессе падения. (Масштабы не выдержаны).

2) Частный случай (см. стр. 17). Пусть одна пробная частица находится на высоте 250 м над поверхностью Земли, а другая — на высоте 275 м. Насколько увеличится разность высот (25 м) этих частиц за те (приблизительно) 7 сек, пока они не упадут на Землю? [Наводящий вопрос: во сколько раз различаются численные значения для Δ𝑎^𝑧 в (б1) и для Δ𝑎^𝑥 в (а2)?] Дополните (или, если угодно, пересмотрите) на основании этого результата таблицу на стр. 99.

в) Случай, когда исследуемая область далека от центра Земли.

Агентство космических исследований расширяет опыты над пробными частицами и космическими лучами. Исследовательская группа приходит к заключению, что использовавшаяся в прежних исследованиях область недостаточно обширна для проведения новых программ, а время 7 сек недостаточно велико. Руководство утверждает их заявку на размеры области Δ𝑥=200 м, Δ𝑦=200 м, Δ𝑧=100 м и время 100 сек с тем же допуском, что и раньше (ε=1⋅10⁻³ м =1 мм). На расстояние скольких земных радиусов от центра Земли нужно забросить с помощью ракет оборудование, чтобы отклонение системы отсчёта от идеально инерциальной было менее приемлемого нижнего предела? (Некоторые возможные попутные вопросы: как изменяется в зависимости от расстояния 𝑟 от центра Земли величина 𝑎*? Как зависят от 𝑟 величины (Δ𝑎^𝑥)* и (Δ𝑎^𝑧)*? Как зависят Δ𝑥 и Δ𝑧 от (Δ𝑎^𝑥)*, (Δ𝑎^𝑧)* и от времени Δ𝑡?) ▼

33*. Опыт Майкельсона — Морли ¹)