Физика пространства - времени

б) Определите, как изменяется частота света при преобразовании Лоренца. Говоря конкретнее, пусть отрезок синусоиды («серия вспышек») света распространяется в положительном направлении оси x так что в течение одного метра светового времени мимо начала лабораторной системы отсчёта проходит /c горбов волны. Имеется в виду, что нулевой или «опорный» горб (или вспышка) проходит мимо начала в нулевой момент времени и что начало системы отсчёта ракеты совпадает с началом лабораторной системы в этот же момент. Требуется показать, что координата x горба № n связана с моментом наблюдения (в метрах) соотношением

n

=

c

(t-x)

.

На том же основании в системе отсчёта ракеты получается соотношение

n

=

'

c

(t'-x')

.

Выразите последнюю формулу через лабораторные координаты, пользуясь преобразованием Лоренца (введя параметр относительной скорости _r). Насколько можно, упростите полученное выражение, пользуясь формулой

ch

±

sh

=

e

^±

из табл. 8, где e — основание натуральных логарифмов: e=2,718281… Сравните полученное выражение для n с формулой для n в лабораторной системе отсчёта и, пользуясь тем, что обе формулы зависят от x и t, найдите простое выражение для ' через и _r.

в) Сравните выводы, полученные вами в пунктах (а) и (б). Покажите, что в случае света, распространяющегося в направлении относительного движения двух систем отсчёта, преобразование энергии фотона при переходе между этими системами совпадает с аналогичным преобразованием частоты световой волны. Этот вывод справедлив для произвольного направления распространения света (см. упражнение 75). Итак, если мы связали фотоны со световой волной в одной системе отсчёта, эта связь сохранится во всех других системах. Из теории относительности не следует определённого численного значения постоянной Планка h в формуле, связывающей энергию (в единицах массы) и частоту; E=(h/c^2) . Из опыта следует, что постоянная Планка h равна 6,63·10^3 дж·сек ¹). Покажите, что, если энергия измеряется в обычных единицах, связь между энергией и частотой принимает вид

E

_обычн

=

h

(энергия в обычных единицах).

(115)

¹) Более привычны единицы — грамм, сантиметр и секунда, в которых c=3·10^1 см/сек, h=6,63·10^2 эрг·сек, а g=980 см/сек^2. — Прим. перев.

г) Покажите, что формула, описывающая эффект Комптона (упражнение 70), принимает при этом вид

=

.

1

+

h

(1-cos )

mc^2

(116)

Идея о том, что рассеянная (переизлучённая) волна обладает пониженной частотой, когда электрон получает электрический удар от поля волны фотона, встречала сильное сопротивление в 20-х годах нашего века.

73*. Гравитационное красное смещение

Следующие две задачи предполагают некоторое знакомство с определёнными элементарными фактами теории тяготения:

I. Очень малый объект (либо сферически симметричный объект произвольного радиуса) с массой m притягивает объект с массой m (также малый либо сферически симметричный) с силой F=Gmm/r^2. Здесь r — расстояние между центрами этих объектов, а G - ньютоновская гравитационная постоянная:

G

=

6,67·10^1^1

м

^3

/

сек

^2·

кг

=

6,67·10

см

^3

/

сек

^2·

г

.

II. Работа, необходимая для перенесения пробной частицы единичной массы из точки r в точку r+dr против сил гравитационного притяжения, вызываемых наличием закреплённой массы m, равна

Gm

=

dr

r^2

.

Переходя от обычных единиц энергии к единицам размерности массы, запишем эту работу как

dW

=

Gm

c^2

·

dr

r^2

=

m*

·

dr

r^2

(117)

(работа, отнесённая к единице массы пробной частицы).

III. В этой формуле первый сомножитель, m*=Gm/c^2, имеет очевидный смысл — это масса притягивающего центра, выраженная не в килограммах, а в метрах. Например, масса Земли (m=5,983·10^2 кг) равна в единицах длины m_Земля*=4,44·10^3 м тогда как масса Солнца (m=1,987·10^3 кг) равна m_Солнце*=1,47·10^3 м.

IV. Пусть пробная частица находится сначала на расстоянии r от притягивающего центра, а затем уносится на бесконечность. Необходимая для этого работа равна

W

=

m*

r

(118)

из расчёта на единицу массы, содержащейся в пробной частице.

а) Какая часть вашей энергии покоя перейдёт в потенциальную энергию, если вы подниметесь на высоту памятника Вашингтону (555 фут, или 170 м)? Пусть

g*

=

Gm_З

c^2

·

1

r_З^2

=

m_З*

r_З^2

есть ускорение силы тяжести на поверхности Земли (радиус r_З), выраженное в м/м^2.

б) Какая часть вашей энергии покоя перейдёт в потенциальную энергию, когда вы подниметесь за пределы действия гравитационного поля Земли? Допустим, что, кроме Земли, во Вселенной ничего нет. Зависит ли доля энергии, теряемой в пункте (а) или (б), от вашей первоначальной массы?