Физика пространства - времени

На чём основывается вывод важного соотношения E^2-p^2=m^2? Получите из него соотношение между энергией и импульсом, справедливое для случая нулевой массы покоя (фотоны, гравитоны, нейтрино). Что можно заключить из этого соотношения относительно наклона мировой линии такой частицы (а следовательно, о её скорости)? Как зависят ваши результаты от равенства sh и ch друг другу в случае больших , если их рассматривать как предельный случай? Существует ли для частиц с нулевой массой покоя «сопутствующая система отсчёта» («система покоя»)?

67. Эйнштейновский вывод принципа эквивалентности энергии и массы покоя — подробный пример

Рис. 106. Перенос массы излучением.

Задача. Исходя из того, что свет переносит энергию и оказывает давление на тела, показать, что его энергия эквивалентна массе, и тем самым, обобщая, доказать, что всякая энергия эквивалентна массе. Комментарий. Эквивалентность энергии и массы является настолько фундаментальным следствием теории, что Эйнштейн, получив это следствие собственно из теории относительности, сразу же продолжил свои рассуждения и нашёл альтернативный подход, приводящий к тому же выводу, но опирающийся на элементарную физику ¹). Он рассмотрел первоначально покоившийся закрытый ящик массы M (рис. 106). Из его левой стенки вправо излучается направленный сгусток электромагнитной энергии, проходящий через весь ящик длины L и поглощающийся в противоположном его конце. Это излучение переносит энергию E. Но оно несёт также импульс - это видно из следующих соображений. Излучение оказывает давление на левую стенку ящика, когда оно покидает её. В результате ящик испытывает толчок влево и приобретает импульс -p. Но ведь импульс системы в целом первоначально был равен нулю, значит излучение несёт импульс p противоположный импульсу, полученному ящиком. Как воспользоваться этими данными о переносе энергии и импульса излучением для нахождения массового эквивалента этого излучения? Эйнштейн получил ответ, исходя из того, что центр масс системы не двигался до того, как начался процесс переноса, и поэтому не мог начать двигаться во время его протекания. Но очевидно, что масса ящика передвинулась влево. Значит, излучение должно перемещать массу вправо. Это были общие идеи, которыми руководствовался Эйнштейн, детали же состояли в следующем.

¹) A. Einstein, Annalen der Physik, 20, 627 (1906).

Из теории относительности Эйнштейн знал, что импульс p направленного пучка излучения равен его энергии E (как p так и E измеряются в единицах массы; см. разд. 10). Однако, чтобы освободить рассуждения от всякого прямого использования принципа относительности, он получил соотношение p=E из следующих элементарных соображений. Давление, оказываемое на идеальный излучатель или поглотитель со стороны пучка, равно плотности энергии в этом пучке. Это известно как из теории электромагнитного излучения Максвелла, так и из непосредственных измерений давления, оказываемого светом на подвешенное в вакууме зеркальце. Такие измерения были впервые успешно произведены Е. Ф. Николсом и Дж. Ф. Халлом около 1901—1903 гг. ¹). В настоящее время эти эксперименты были настолько упрощены, а их чувствительность так повышена, что они могут производиться в учебной лаборатории ²).

Плотность энергии

излучениях

в единицах энергии,

содержащаяся

в единице объёма

=

Давление, оказываемое

направленным

излучением на

идеальный излучатель

или поглотитель в

единицах силы на

единицу площади

.

¹) П.Н. Лебедев произвёл прецизионные опыты по измерению давления света в 19000 г. (см. П.Н. Лебедев, Избранные сочинения, М.- Л., 1949). - Прим. перев.

²) См. R. Pollock, American Journal of Physics, 31, 901 (1963). Метод Поллока измерения давления света состоит в использовании явления резонанса для усиления слабых эффектов, так что их величина достигает легко поддающихся измерению значений. Поллок разработал этот эксперимент в сотрудничестве с той же самой группой первокурсников, с которой авторы этой книги имели удовольствие выработать это изложение теории относительности. Авторы особенно признательны Марку Вассерману, члену этой группы, сделавшему ряд полезных замечаний по поводу некоторых дальнейших схем.

Взяв этот вывод, умножим обе стороны равенства на величину площади A излучающей стенки и длину l сгустка радиации (которая должна быть по крайней мере короче длины L ящика). Заметим, что l равняется времени действия давления излучения, умноженному на скорость света. Поэтому наш множитель имеет вид

Объём,

занятый сгустком

энергии излучения

=

Площадь излучающей

поверхности

x

x

Время действия

давления

на поверхность

x

Скорость

света

.

Перемножая соответственные стороны двух последних равенств, найдём

Энергия,

переносимая

излучением

=

Сила, действующая

со стороны

излучения на стенку

x

x

Время действия

силы

x

Скорость

света

=

=

Импульс, переданный

излучением стенке, т.е.

величина импульса,

переносимого самим

излучением

x

Скорость