Физика пространства - времени

б) Одновременно ли производятся в лабораторной системе отсчёта выстрелы, посредством которых ядра вводятся в трубу? Опишите движение центра масс ядер в лабораторной системе отсчёта. При этом удобно воспользоваться диаграммой пространства-времени. Инвариантно ли положение центра масс в теории относительности?

в) Предположим теперь, что в системе отсчёта ракеты труба не закреплена, а лежит на абсолютно гладкой поверхности. Рассмотрите движение центра масс трубы в обеих системах отсчёта. Как движется в каждой из систем отсчёта центр масс системы, включающей трубу плюс оба пушечных ядра?

60*. Второй вывод релятивистского выражения для импульса

а) На рис. 85 в системе отсчёта ракеты между моментами столкновения двух шаров и попадания шара A в верхнюю стенку проходит интервал времени t'. В лабораторной системе отсчёта этот промежуток времени равен t. Пользуясь формулами преобразования Лоренца, найдите связь между этими двумя промежутками времени, t' и t. Найдите связь между значениями y-компоненты скорости шара A в обеих системах (см. упражнение 20). Приняв за скорость шара A в системе отсчёта ракеты, покажите, что y-компонента скорости шара A в лабораторной системе отсчёта _A^y,_лаб определяется выражением

_A

^y

,

_лаб

=

ch _r

.

 

Рис. 100. Компоненты скорости шаров A и B в лабораторной системе отсчёта до столкновения.

б) Проанализируйте теперь это столкновение в лабораторной системе отсчёта. На основании его симметрии в лабораторной системе и в системе отсчёта ракеты проверьте правильность данных о компонентах скоростей, приведённых на рис. 100. Вспомните, что импульс частицы должен быть направлен вдоль её движения (разд. 11). Поэтому треугольник векторов скорости шара A до и после столкновения подобен треугольнику векторов импульса шара A до и после столкновения (рис. 101). Предположим, что шар B в лабораторной системе отсчёта движется настолько медленно, что его импульс можно определять по ньютоновской формуле m. Потребуем теперь, чтобы изменение импульса шара A в процессе столкновения было равно по величине и противоположно по направлению изменению импульса шара B. Пропорциональность соответственных сторон подобных треугольников даёт равенство:

Горизонтальный

пунктирный отрезок

на диаграмме импульса

Вертикальный

пунктирный отрезок

на диаграмме импульса

=

Горизонтальный

пунктирный отрезок

на диаграмме скорости

Вертикальный

пунктирный отрезок

на диаграмме скорости

.

Рис. 101. Диаграммы скорости и импульса шара A в лабораторной системе отсчёта.

Покажите, что отсюда следует выражение

p

^x

=

m sh

_r

для x-компоненты импульса быстро движущегося шара A.

в) В пределе малых y-компонент скоростей величина p ^x становится равной полному импульсу p шара A, а параметр относительной скорости _r становится равным параметру шара A. Отсюда следует выражение для релятивистского импульса частицы

p

=

m sh

.

61*. Второй вывод релятивистского выражения для энергии

Рис. 102. Анализ упругого лобового столкновения частиц разных масс в ньютоновской механике. Скорости частиц до и после соударения в лабораторной системе отсчёта (верхний рисунок) и в системе отсчёта ракеты (нижний рисунок), найденные по ньютоновскому закону сложения скоростей.

а) Сохранение ньютоновского импульса. Рассмотрим лобовое упругое соударение частиц различных масс покоя (m и m). Частица 1 отскакивает от частицы 2, потеряв часть своей скорости и передав часть импульса частице 2. Рассмотрите это столкновение с ньютоновских позиций. Основываясь на рис. 102, покажите, что в лабораторной системе отсчёта из ньютоновского закона сохранения импульса следует уравнение

m

+

m

=

m

+

m

,

в котором величина отрицательна в случае указанных на этом рисунке направлений движения. Чёрточки над буквами означают, что соответствующие величины взяты после соударения. Рассмотрим теперь этот же процесс в системе отсчёта ракеты. При малой относительной скорости движения ракеты _r скорость каждой частицы в системе отсчёта ракеты находится путём простого вычитания _r из скорости этой частицы в лабораторной системе отсчёта. Примените ньютоновский закон сохранения импульса к столкновению с точки зрения системы отсчёта ракеты. Покажите, что если ньютоновский импульс сохраняется в лабораторной системе отсчёта, он будет автоматически сохраняться и в системе отсчёта ракеты, движущейся с малой скоростью относительно лабораторной системы отсчёта.

Рис. 103. Анализ упругого лобового столкновения частиц разных масс в релятивистской механике. Скорости частиц до и после соударения в лабораторной системе отсчёта (верхний рисунок) и в системе отсчёта ракеты (нижний рисунок), найденные по релятивистскому закону сложения параметров скорости.