Feynmann 4

W=_a^b∫pdV

а

совершается за счет энергии Q₁ , полученной из резервуара. Во время расширения pV=NkT₁ или

p-NkT₁/V; значит,

т. е.

Q₁=NkT₁ln(V_b/V_a).

Вот то тепло, которое взято из резервуара при температуре Т₁. Точно так же можно вычислить и тепло, отданное при сжатии (кривая 3 на фиг. 44.6) резервуару при температуре T₂:

Q₂=NkT₂ln(V_c/V_d). (44.5)

Чтобы закончить анализ, нужно еще найти соотношение между V_c/V_d и V_b/V_a. Для этого взглянем сначала на кривую 2, которая описывает адиабатическое расширение от b до c. В это время pV^g остается постоянным. Поскольку pV=NkT, то фор­мулу для адиабатического расширения в конечных точках пути можно записать в виде (pV)V^g-1=const, или TV^g-1=const, т. е.

T₁V_b^g-1=T₂V_c^g-1. (44.6)

Так как кривая 4 описывает адиабатическое сжатие от d до а, то

Т₁V_a^g-1=T₂V_d^g-1. (44.6а)

Если поделить эти равенства одно на другое, то мы выясним, что отношения V_b/V_a и V_c/V_d равны, поэтому равны и лога­рифмы в (44.4) и (44.5). Значит,

Q₁/T₁=Q₂/T₂. (44.7)

Это и есть то соотношение, которое мы искали. Хотя оно дока­зано для машины с идеальным газом, мы уже знаем, что оно справедливо для любой обратимой машины.

А теперь посмотрим, как можно вывести этот универсальный закон на основании только логических аргументов, не интере­суясь частными свойствами веществ. Предположим, что у нас есть три машины и три температуры Т₁, Т₂ и Т₃. Одна машина поглощает тепло Q₁ при температуре T₁, производит работу W₁₃ и отдает тепло Q₃ при температуре T₃ (фиг. 44.8).

Фиг. 44.8. Спаренные машины 1 и 2 эквивалентны машине 3.

Другая машина работает при перепаде температур t₂ и Т₃. Предположим, что эта машина устроена так, что она поглощает то же тепло Q₃ при температуре Т₃ и отдает тепло Q₂. Тогда нам придется затратить работу W₃₂, ведь мы заставили машину работать в обратном направлении. Цикл первой машины заклю­чается в поглощении тепла Q₁ и выделении тепла Q₃ при тем­пературе Т₃. Вторая машина в это время забирает из резер­вуара то же самое тепло Q₃ при температуре T₃ и отдает его в резервуар с температурой Т₂. Таким образом, чистый резуль­тат цикла этих спаренных машин состоит в изъятии тепла Q_l при температуре Т₁ и выделении тепла Q₂ при температуре T₂. Эти машины эквивалентны третьей, которая поглощает тепло Q_l при температуре Т₁, совершает работу W₁₂ и выделяет тепло Q₂ при температуре Т₂. Действительно, исходя из первого за­кона, можно сразу же показать, что W₁₂=W₁₃-W₃₂:

W₁₃-W₃₂=(Q₁-Q₃)=(Q₂-Q₃)=Q₁-Q₂=W₁₂ . (44.8)

Теперь можно получить закон, связывающий коэффициенты полезного действия машин. Ведь ясно, что между эффективностями машин, работающих при перепаде температур Т₂-T₃, t₂-Т₃ и Т₁-Т₂, должны существовать определенные соотно­шения.