Feynmann 4

Таким образом, прежде всего мы вычисляем энергию, из­лучаемую в 1 сек осциллятором с заданной энергией. (Мы по­заимствуем для этого в гл. 32, посвященной радиационному трению, несколько равенств и не будем здесь приводить их выводы.) Отношение энергии, излученной за радиан, к энер­гии осциллятора называется 1/Q [см. уравнение (32.8)] : 1/Q= (dW/dt)/( w₀W. Используя величину у (постоянную затуха­ния), можно записать это в виде 1/Q=g/w₀, где w₀— собствен­ная частота осциллятора, если g очень мала, a Q очень велико. Излученная за 1 сек энергия равна

Излученная за 1 сек энергия просто равна произведению g на энергию осциллятора. Средняя энергия нашего осциллятора равна kT, поэтому произведение g на kT — это среднее значе­ние излученной за 1 сек энергии:

<dW/dt>=gkT. (41.5)

Теперь нам нужно только узнать, что такое g. Эту величину легко найти из уравнения (32.12):

где r₀= e²/mc²— классический радиус электрона, и мы положи­ли Я = 2pс/w₀.

Окончательный результат для средней скорости излучения света вблизи частоты w₀ таков:

Теперь надо выяснить, сильно ли должен быть освещен ос­циллятор. Освещение должно быть таким, чтобы поглощен­ная осциллятором энергия (и впоследствии рассеянная) была в точности равна предыдущей величине. Иначе говоря, излучен­ный свет — это свет, рассеянный при освещении осциллятором в полости. Итак, нам остается рассчитать, сколько света рас­сеивается осциллятором, если на него падает какая-то — неиз­вестная — доза излучения. Пусть I(w)dw— энергия света час­тоты w в интервале частот dw (ведь у нас нет света точно задан­ной частоты; излучение распределено по спектру). Таким образом, I(w) — это спектральное распределение, которое нам надо найти. Это тот цвет огня, который мы увидим внутри печи при температуре Т, если откроем дверцу и заглянем внутрь.

Сколько же все-таки света поглотится? Мы уже определяли количество излучения, поглощаемого из заданного падающего пучка света, и выразили его через эффективное сечение. Это соответствует тому, как если бы мы предполагали, что весь свет, падающий на площадку определенной площади, погло­щается. Таким образом, полная переизлученная (рассеянная) интенсивность равна произведению интенсивности падающего света I(w)dw на эффективное сечение а.

Мы вывели формулу для эффективного сечения [см. уравне­ние (31.19)1, не включающую затухания. Нетрудно повторить этот вывод снова и учесть трение, которым мы тогда пренебре­гли. Если это сделать, то, вычисляя эффективное сечение по прежнему образцу, мы получим

Пойдем дальше; s_s как функция частоты имеет более или менее заметную величину только для w около собственной час­тоты w₀. (Вспомним, что для излучающего осциллятора Q — порядка 10⁸.) Когда со равна w₀, осциллятор рассеивает очень сильно, а при других значениях w он почти не рассеивает сов­сем. Поэтому можно заменить w на w₀, а w²-w²₀ на 2w₀(w-w₀); тогда

Теперь почти вся кривая загнана в область около w=w₀. (Фактически мы не должны делать никаких приближений, но легче иметь дело с интегралом, в котором подынтегральное вы­ражение несколько проще.) Если умножить интенсивность в данном интервале частот на эффективное сечение рассеяния, то получится энергия, рассеянная в интервале dw. Полная рассеянная энергия — это интеграл по всем w. Таким образом,

Теперь мы положим dW_s/dt=3gkT. Но почему здесь стоит 3? Потому что в гл. 32 мы предполагали, что свет поляризован так, что может раскачивать осциллятор. Если бы мы исполь­зовали осциллятор, способный раскачиваться только в одном направлении, а свет был бы, скажем, поляризован неверно, то он не рассеивался бы совсем. Поэтому мы должны либо усреднить эффективное сечение рассеяния на осцилляторе, способном раскачиваться только в одном направлении, по всем направле­ниям падающих пучков и поляризации света в пучке, либо, что легче сделать, представить себе, что наш осциллятор пос­лушно следует за полем, каким бы оно ни было там, где он на­ходится. Такой осциллятор, который одинаково легко раска­чивается в любом из трех направлений, имеет среднюю энергию 3kT, потому что у него 3 степени свободы. А раз 3 степени сво­боды, то надо писать 3gkT.

Займемся теперь интегралом. Предположим, что неизвест­ное спектральное распределение света I(w) — это плавная кри­вая, которая в той узкой области частот, где s_s имеет острый максимум, меняется не слишком сильно (фиг. 41.3).

Фиг. 41.3. Сомножители подын­тегрального выражения (41.10).

Пик — это резонансная кривая 1/[(w-w₀)²+(g²/4)]. Множитель I(w) можно с хорошим приближением за­менить на I(w₀).