Feynmann 1

Многие физики думают, что единственным определением любого понятия является способ его измерения. Но тогда при объяснении вы должны прибегнуть к прибору, измеряющему скорость. «Смотрите,— скажете вы в этом случае, — ваш спи­дометр показывает 60». «Мой спидометр сломан и давно не ра­ботает»,— ответит она. Но достаточно ли этого, чтобы пове­рить, что машина не двигалась? Мы полагаем, что как-то нужно было бы определять скорость и без помощи спидометра. Только при этих условиях можно сказать, что спидометр не работает, что он сломан. Это было бы абсурдным, если бы скорость не имела смысла без спидометра. Очевидно, что понятие «скорость» не зависит от спидометра. Спидометр нужен только для того, чтобы измерять ее. Давайте посмотрим, нельзя ли придумать луч­шее определение понятия «скорость». Вы скажете: «Разумеется, мадам, если бы вы ехали таким же образом в течение часа, то налетели бы на стену, но за 1 секунду вы бы проехали 25 метров, так что вы делали 25 метров в секунду, и если бы продолжали ехать таким же образом, то в следующую секунду опять проехали бы 25 метров, а стена стоит гораздо дальше». «Но правила запрещают делать 90 километров в час, а не 25 мет­ров в секунду». «Да ведь это то же самое, что и 90 километ­ров в час»,— ответите вы. А если это то же самое, то к чему тог­да все длинные разговоры о 25 м/сек? В действительности же падающий шар не может двигаться одинаковым образом даже 1 сек, так как он постоянно ускоряется, и, следовательно, нуж­но определить скорость как-то точнее.

Но теперь мы, кажется, находимся на правильном пути, ко­торый приводит нас вот к чему. Если бы машина продолжала двигаться таким же образом следующую тысячную долю часа, то она прошла бы тысячную долю 90 км. Другими словами, нет никакой необходимости ехать целый час с той же быстротой, достаточно какого-то момента. Это означает, что за какой-то момент времени машина проходит такое же расстояние, как я идущая с постоянной скоростью 90 км/час. Наши рассуждении о 25 м/сек, возможно, и правильные; мы отмечаем, сколько ма­шина прошла в следующую секунду, и если получается расстоя­ние 25 м, то это означает, что скорость достигает 90 км/час.

Другими словами, можно определить скорость следующим об­разом. Определяем расстояние, которое было пройдено за очень малый отрезок времени, и, разделив его на этот отрезок времени, получаем скорость. Однако этот отрезок должен быть как мож­но меньше, и чем меньше, тем лучше, потому что в этот период могут произойти снова изменения. Смешно, например, для па­дающего тела в качестве такого отрезка принять час. Принять в качестве отрезка секунду, может быть, удобно для автомобиля, так как за секунду его скорость изменяется не слишком силь­но, но этот отрезок велик для падающего тела. Таким образом, чтобы вычислить скорость более точно, нужно брать все меньшие и меньшие интервалы времени. Если на миллионную долю се­кунды мы разделим расстояние, которое было пройдено в течение этого времени, то получим расстояние в секунду, т.е. как раз то, что мы понимаем под скоростью. Именно это нужно было сказать нашей нарушительнице, т. е. дать то определение; скорости, которое мы и будем использовать.

Такое определение содержит некую новую идею, которая была недоступна грекам в ее общей форме.

Она заключается в том, чтобы малые расстояния разделить на соответствующие малые отрезки времени и посмотреть, что произойдет с частным, если отрезок времени брать все меньше и меньше (иными словами, брать предел отношения пройденно­го расстояния к интервалу времени при неограниченном уменьшении последнего). Впервые эта идея была высказана незави­симо Ньютоном и Лейбницем и явилась основой новой области математики — дифференциального исчисления. Оно возникло в связи с описанием движения, и первым его приложением был ответ на вопрос: «Что означает 90 км/час?»

Попытаемся теперь точнее определить скорость. Пусть за некоторое малое время e машина или какое-то другое тело про­шли малое расстояние х; тогда скорость v определяется как

v=x/e,

причем точность будет тем больше, чем меньше e. Математики записывают это следующим образом:

(8.3)