Feynmann 1

т. е. скорость есть предел отношения х/e при e, стремящемся к нулю. Для нашей машины-нарушительницы невозможно точно вычислить скорость, так как таблица неполная. Ее положение известно нам только через интервалы 1 мин. Приближенно, конечно, можно сказать, что в течение седьмой минуты, например, она шла со средней скоростью 90 км/час, однако о ее ско­рости в конце шестой минуты ничего сказать невозможно. Мо­жет быть, она ускорялась и скорость с 40 км/час в начале шестой минуты возросла до 90 км/час в конце ее, а может быть, она дви­галась иначе. Мы не знаем этого точно, так как у нас нет деталь­ной записи ее движения между шестой и седьмой минутами. Только когда таблица будет пополнена бесконечным числом данных, из нее можно будет действительно вычислить скорость. Если, однако, нам известна полная математическая формула, как, например, в случае падающего тела [уравнение (8.1)], то можно подсчитать скорость. Ведь по формуле можно найти положение тела в любой момент времени.

В качестве примера давайте найдем скорость падающего шара через 5 сек после начала падения. Один способ — это по­смотреть по табл. 8.2, что происходило с шариком на пятой се­кунде. В течение этой секунды он прошел 45 м, так что, каза­лось бы, он падал со скоростью 45 м/сек. Однако это неверно, поскольку скорость его все время изменялась. Конечно, в сред­нем в течение этой секунды она составляла 45 м/сек, но в дейст­вительности шар ускорялся и в конце пятой секунды падал быстрее 45 м/сек. Наша задача состоит в том, чтобы опре­делить скорость точно. Сделаем это следующим образом. Нам известно, где шарик находился через 5 сек. За 5 сек он прошел расстояние 125 м. К моменту 5,1 сек общее расстояние, которое прошел шарик, составит, согласно уравнению (8.1), 130,05 м. Таким образом, за дополнительную десятую долю секунды он проходит 5,05 м. А поскольку 5,05м за 0,1 сек то же самое, что и 50,5 м/сек, то это и будет его скорость. Однако это все еще не совсем точно. Для нас совершенно неважно, будет ли это скорость в момент 5 сек, или в момент 5,1 сек, или где-то по­средине. Наша задача вычислить скорость точно через 5 сек, а этого мы пока не сделали. Придется улучшить точность и взять теперь на тысячную долю больше 5 сек, т. е. момент 5,001 сек, Полное расстояние, пройденное за это время, составляет

s=5·5,001² = 5·25,010001=125,050005 м.

Следовательно, в последнюю тысячную долю секунды шарик проходит 0,050005 м, и если разделить это число на 0,001 сек, то получим скорость 50,005 м/сек. Это уже очень близко, но все же еще не точно. Однако теперь уже ясно, как поступить, чтобы найти скорость точно. Удобнее решать эту задачу в несколько более общем виде. Пусть требуется найти скорость в некоторый момент времени t₀ (например, 5 сек). Расстояние, которое прой­дено к моменту t₀ (назовем его s₀), будет 5t²₀ (в нашем случае 125 м). Чтобы определить расстояние, мы задавали вопрос: где окажется тело спустя время t₀+ (небольшой добавок), или t₀+e? Новое положение тела будет 5(t₀+e)²=5t²₀+10t₀e+5e². (Это расстояние больше того расстояния, которое шарик прошел за t₀ сек, т. в. больше 5t²₀.) Назовем это расстояние s₀+ (не­большой добавок), или s₀+x. Если теперь вычесть из него рас­стояние, пройденное к моменту t₀, то получим х — то дополни­тельное расстояние, которое шарик прошел за добавочное вре­мя e, т. е. x=10t₀e+5e². Так что в первом приближении ско­рость будет равна

v=x/e=10t₀+5e. (8.4)

Теперь мы уже знаем, что нужно делать, чтобы получить ско­рость точно в момент t₀: нужно брать отрезок e все меньше и меньше, т. е. устремлять его к нулю. Таким путем из уравне­ния (8.4) получим

v (в момент t₀)=10t₀,

В нашей задаче t₀=5 сек, следовательно, скорость равна v=10·5=50 м/сек. Это и есть нужный ответ. Раньше, когда e бралось равным 0,1 и 0,001 сек, получалась несколько большая величина, чем 50 м/сек, но теперь мы видим, что в действитель­ности она в точности равна 50 м/сек.

§ 3. Скорость как производная

Процедура, которую мы только что выполнили, настолько часто встречается в математике, что для величин e и x: было придумано специальное обозначение: e обозначается как Dt, а х — как Ds. Величина Dt означает «небольшой добавок к t», причем подразумевается, что этот добавок можно делать мень­ше. Значок D ни в коем случае не означает умножение на какую-то величину, точно так же как sinq не означает s·i·n·q. Это просто некоторый добавок ко времени, причем значок D напоми­нает нам о его особом характере. Ну, а если D не множитель, то его нельзя сократить в отношении Ds/Dt. Это все равно, что в выражении sinq/sin2q сократить все буквы и получить ¹/₂. В этих новых обозначениях скорость равна пределу отношения Ds/Dt при Dt, стремящемся к нулю, т. е.

(8.5)

Это по существу формула (8.3), но теперь яснее видно, что здесь все изменяется, а, кроме того, она напоминает, какие именно ве­личины изменяются.