Читаем Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства полностью

Из-за бесконечности числа возможных теорем абсолютная непротиворечивость геометрии, арифметики и, если уж на то пошло, всей математики – дело куда более трудоемкое. Чтобы разобраться и с этим, математики изобрели абстрактную теорию объектов, имеющую с ними дело на самом общем уровне, независимо от всяких особенностей того, чем они на самом деле являются. Эта теория, которую ныне преподают в большинстве общеобразовательных школ, называется теорией множеств.

И все-таки даже самая простая теория множеств сталкивается с путаными парадоксами: один такой был опубликован в 1908 году в малоизвестном журнале «Abhandlung der Friesschen Schule» Куртом Греллингом и Леонардом Нелсоном. Греллинг и Нелсон рассматривают множество слов. Возьмем, во-первых, множество всех прилагательных, описывающих сами слова. Например, слово «двадцатиоднобуквенный» само, да, состоит из двадцати одной буквы, а прилагательное «многосложный» – многосложно. В пику этому множеству есть множество всех прилагательных, которые себя не описывают. На ум почему-то приходят слова типа «хорошо написанный», «поразительный» и «другу рекомендуемый» (если в этой книге и есть хоть одно предложение, которое стоит вызубрить, – вот оно). Последнее множество называется гетерологическим – вероятно, оттого, что «гетерологический» само по себе многосложно.

Красота? Но есть, однако, закавыка: а «гетерологический» – гетерологическое слово? Если да, значит, оно себя описывает, следовательно, оно таковым не является. Раз оно таковым не является, значит, оно себя не описывает, а следовательно – является. Вот что математики называют парадоксом; для не-математика это всего лишь знакомая безвыигрышная ситуация (понятие, придуманное математиками, дай им бог здоровья) [182] .

* * *

В 1903 году Бетран Расселл, без пяти минут лорд Расселл, попытался навести порядок, предположив в своей скромной книге под названием «Принципы математики», что вся математика должна выводиться из логики. Совместно со своим коллегой по Оксфорду Алфредом Нортом Уайтхедом он попытался добиться такой выводимости – или хотя бы показать, как это сделать, – в трехтомном магнум-опусе, изданном между 1910 и 1913 годами. Вероятно, потому, что этот труд был серьезнее публикации 1903 года, он получил латинское название «Principia Mathematica». В «Principia» Расселл и Уайтхед заявили, что свели всю математику к единой системе основных аксиом, из которых можно доказать все теоремы математики, подобно евклидовой системе применительно к геометрии. В их системе даже такие фундаментальные понятия как числа рассматривались как эмпирические конструкты, которые необходимо обосновывать более глубокими аксиоматическими структурами.

Гильберт отнесся к этим заявлениям скептически. Он подначил математиков строго доказать успешность программы Расселла и Уайтхеда. Этот вопрос отложили насовсем в 1931 году шокирующей теоремой Курта Гёделя [183] : он доказал, что в системе достаточной сложности – в теории чисел, к примеру, – должно существовать утверждение, чью истинность или ложность невозможно доказать. Это уничтожает утверждение Расселла и Уайтхеда: они не только не показали, как именно все математические теоремы можно вывести из логики, но и в принципе не могли бы этого сделать!

Математики продолжают работать над фундаментом своей науки, но со времен Гёделя никому еще не удалось заметно изменить общую картину. По-прежнему не существует общепринятого подхода к тому, что начал Евклид: к аксиомам математики.

Между тем сила математики – не в одних лишь умозрительных играх, и это ни в чем не очевидно так, как в применении Эйнштейном свежеоткрытых типов математических пространств к тому, в котором мы живем. Хоть и серьезно перемоделированная, геометрия продолжила быть окном видения нашей Вселенной.

<p>Часть IV. История Эйнштейна</p>...

Отчего пространство искривляется?

У пространства появилось новое измерение – в ХХ веке оно взрывается пространством-временем и превращает служащего патентного бюро в героя столетия.

<p>Глава 21. Революция со скоростью света</p>

Гаусс и Риман показали, что пространство может искривляться, и разработали математику, необходимую для описания этого явления. Далее встал вопрос: а в каком пространстве обитаем мы? Или – еще глубже: что определяет форму пространства?

Изящный и точный ответ, данный Эйнштейном в 1915 году, на самом деле впервые в общих чертах был предложен еще в 1854-м самим Риманом:

...
Перейти на страницу:

Похожие книги

История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных
История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Эта книга, по словам самого автора, — «путешествие во времени от вавилонских "шестидесятников" до фракталов и размытой логики». Таких «от… и до…» в «Истории математики» много. От загадочных счетных палочек первобытных людей до первого «калькулятора» — абака. От древневавилонской системы счисления до первых практических карт. От древнегреческих астрономов до живописцев Средневековья. От иллюстрированных средневековых трактатов до «математического» сюрреализма двадцатого века…Но книга рассказывает не только об истории науки. Читатель узнает немало интересного о взлетах и падениях древних цивилизаций, о современной астрономии, об искусстве шифрования и уловках взломщиков кодов, о военной стратегии, навигации и, конечно же, о современном искусстве, непременно включающем в себя компьютерную графику и непостижимые фрактальные узоры.

Ричард Манкевич

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Математика / Научпоп / Образование и наука / Документальное