Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства

Ясное дело – и мы в этом уже убедились – применения координат как таковых новинкой не было. Птолемей еще во II веке использовал систему координат в своих картах [119] . Но работы Птолемея сводились исключительно к географии. Никакого другого значения – помимо приложимости к земному шару – он в них не видел. Подлинное новаторство идей Декарта применительно к координатам состояло не в них самих, а в том, что́ Декарту удалось из них извлечь.

Изучая классические греческие кривые, манеру определения которых Декарт столь глубоко презирал, он, тем не менее, обнаружил удивительные закономерности. Например, он изобразил несколько прямых и выяснил, что для любой прямой координаты х и у любой точки на ней всегда связаны простым отношением. Алгебраически эту связь можно выразить уравнением вида ах + by + c = 0, где а, b и с – постоянные, т. е. обычные числа вроде 3 или 41/2, и зависят они лишь от того, какую прямую в данный момент мы рассматриваем. Это означает, что любая точка, описываемая координатами ( х, у ), лежит на некоторой прямой тогда и только тогда, когда сумма х , взятого а раз, у , взятого b раз, и с равна нулю. Таково альтернативное – алгебраическое – определение прямой.

С точки зрения Декарта, линия есть множество точек с особым свойством: если прирастить одну координату, чтобы получить другую точку того же множества, необходимо прирастить и другую координату в строго заданной пропорции. Его определение круга (или эллипса) устроено по тому же принципу. С единственной разницей: убавляя одну координату, необходимо добавлять к другой так, чтобы (взвешенная) сумма квадратов координат, а не просто координат самих по себе, оставалась неизменной.

За триста лет до Декарта Николай Орезмский тоже подметил, что кривые можно определять через соотношение координат, и тоже вывел некоторое подобие уравнения прямой. Но во времена Орема алгебра еще не имела широкого хождения, и за отсутствием подходящей формы записи Орем не смог развить идею дальше [120] . Декартов метод ассоциирования алгебры и геометрии привел к обобщению представлений Николая Орезмского, и теперь всю греческую математику можно было описать просто и сжато. Эллипсы, гиперболы, параболы – все их, как выяснилось, можно определить через простые уравнения в координатах х – у .

Возможность определять классы кривых по виду их уравнений имеет далеко идущие последствия для науки. Взглянем еще раз, к примеру, на данные, полученные Николаем, но сдвинем запятую в числах на один десятичный знак. Теперь-то понятно, что они такое – это таблица приблизительных средневысоких температур [121] 15-го числа каждого месяца (кроме января) в Нью-Йорке. Ученый может задаться вопросом: есть ли простая взаимосвязь между этими показателями?

Как мы уже видели, отображение этих данных в виде графика дает нам простую геометрическую фигуру – параболу. Знание уравнения, описывающего параболу, дает нам кое-какие предсказательные возможности – позволяет сформулировать «закон средневысоких» для нью-йоркской погоды. Закон таков: обозначим через у температуру ниже 85 градусов по Фаренгейту, а через х – число месяцев до или после 15 июля, и тогда у равен дважды х в квадрате. Опробуем это правило. Чтобы определить, какова будет средневысокая температура в Нью-Йорке, скажем, 15 октября, отметим, что октябрь – через три месяца после июля, т. е. х = 3. Поскольку три в квадрате – девять, средняя температура 15 октября есть дважды по девять, т. е. на 18 градусов ниже показателя 15 июля (85 градусов). Таким образом, по нашему «закону» выходит средняя температура приблизительно 67 градусов. Реальные данные – 66 градусов. Для большинства месяцев закон приложим вполне точно – и его можно применять и для других дней календаря, а не только к 15-м числам месяцев, если вам не лень возиться с дробями.

Сформулированный нами закон определяет отношение между у и х ; это частный случай того, что математики называют функцией. В нашем примере парабола есть график функции. Физика в существенной степени занимается именно тем, что мы сейчас проделали: обнаружением закономерностей в данных, определением функциональных зависимостей и (этим мы не озаботились) объяснением причин той или иной взаимосвязи.

Точно так же, как можно вывести физические законы графически, применив картезианские методы, у евклидовых теорем тоже есть алгебраические следствия. Например, представьте теорему Пифагора в декартовых терминах. Вообразите прямоугольный треугольник. Для простоты положим, что вертикальная сторона его лежит вдоль оси у и тянется от точки начала координат до точки А , а горизонтальная сторона – из точки начала координат вдоль оси х до точки В . Таким образом длина вертикальной стороны равна координате у ее конечной точки А , а длина горизонтальной стороны – координате х конечной точки В .