Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства

Всю свою жизнь Декарт относился к работам греков весьма критически, однако геометрия раздражала его пуще прочего. Она казалась ему неуклюжей и усложненной без всякой необходимости. Ему, казалось, противны были сами формулировки греческой геометрии, вынуждавшие его трудиться прилежнее потребного. Анализируя задачу, поставленную греком Паппом Александрийским, Декарт писал, что «мне утомительно уже то, сколько всего об этом надо писать» [114] . Он критиковал их систему доказательств, потому что каждое новое оказывалось уникальным в своем роде, и одолеть его можно было «лишь при условии великого изнурения воображения» [115] . Не одобрял он и того, как греки определяли кривые – описательно, что само по себе, конечно, бывало скучным, а доказательства делало путаными. Ныне ученые пишут, что «декартова математическая лень – притча во языцех» [116] , но самому Декарту вовсе не совестно было искать некую связующую систему, что упростила бы доказательства геометрических теорем. Таким способом он мог спать дольше и все равно больше сделать для науки, чем критиковавшие его более прилежные ученые.

Сравним для примера определение круга Евклидом (часть I «Начал») и Декартом – и убедимся в успехах последнего:

...

Евклид: Круг есть плоская фигура, содержащаяся внутри одной линии [которая называется окружностью], на которую все из одной точки внутри фигуры падающие [на окружность круга] прямые равны между собой [117] .

Декарт: Круг есть все х и у, удовлетворяющие уравнению х 2 + у 2 = r 2 для заданного значения r.

Даже тем, кто не в курсе, что такое «уравнение», определение Декарта должно показаться проще. И вся штука не в том, чтобы определить, что такое уравнение, а в том, что в декартовом методе круг определяется им. Декарт перевел язык пространства на язык чисел и, что еще важнее, применил этот перевод к перефразированию геометрии в алгебру.

Декарт начал свой анализ с превращения плоскости в подобие графика, изобразив горизонтальную прямую и назвав ее осью х , а вертикальную – осью у . За исключением одной существенной детали, любая точка на этой плоскости описывалась теперь двумя числами: вертикальным расстоянием до горизонтальной оси, обозначенным у , и горизонтальным расстоянием до вертикальной оси, обозначенным х . Точки на плоскости с тех пор записываются в виде «упорядоченных пар» ( х; у ).

Но вернемся к существенной детали: если буквально отмерить расстояния, как описано выше, для каждой пары координат ( х; у ) найдется более одной точки. Например, рассмотрим две точки, каждая из которых на единичный отрезок выше оси х , но располагаются они по обе стороны от оси у : допустим, одна лежит на два единичных отрезка правее, а другая – на два единичных отрезка левее. Поскольку обе точки расположены на один единичный отрезок выше оси х и обе – в двух единичных отрезках от оси у , в соответствии с нашим рассуждением обе можно описать парой координат (2, 1).

Такая же неоднозначность возникает в почтовых адресах. Могут ли два человека, проживающие по адресу 80-я улица, 137, задрать нос и заявить: «Да я б никогда в том районе жить не стал». Отчего бы и нет? «Вестсайдская история» и «Истсайдская история» – однозначно две разные истории [118] . Математики избавляются от этой неоднозначности в координатах в точности так же, как градостроители – в почтовых адресах, с той лишь разницей, что первые используют знаки «плюс» и «минус», а вторые приписывают к адресу «восточный»/«западный» или «северный»/«южный». Математики подрисовывают знак «минус» к координате х всех точек, размещающихся левее оси у (т. е. «восточной стороне» – «истсайду»), и к координате у всех точек, расположенных ниже оси х (т. е. «южной стороне», или «саутсайду»). В нашем случае у первой точки координаты останутся без изменений – (2, 1), а у второй станут такие: (– 2, 1). Мы делим плоскость на четыре четверти (квадранта) – северо-восточная, северозападная, юго-восточная и юго-западная. У всех точек в «южном» квадранте значение координаты у отрицательное, а у всех точек в «западном» отрицательно значение координаты х . Эту систему обозначения принято называть декартовыми координатами. (На самом деле примерно тогда же аналогичное открытие сделал Пьер Ферма, однако если за Декартом водилась дурная привычка ни на кого не ссылаться в своих публикациях, Ферма имел худшую склонность – не публиковать свои работы вообще.)