Диаспора

Между делом онона создала сферу и деформировала ее в куб, показав, что нужного результата это не принесло, поскольку в углах граней кривизна получилась сингулярной, а отнюдь не нулевой.

— Хорошо. Вот тебе подсказка. — Радья превратила куб обратно в сферу, потом наметила на ее поверхности три больших круга: один на экваторе, а еще два — на меридианах, отстоявших друг от друга на полных 90 градусов.

— Как я расчертила эту поверхность?

— Вы покрыли ее треугольниками. Правильными треугольниками.

Четыре в северном полушарии, четыре в южном.

— И что бы ты ни вытворяла с поверхностью, как бы ни сплющивала ее, как бы ни вытягивала и скручивала в тысяче измерений, — тебе все равно придется сохранить свойство покрытия поверхности таким вот способом, разве нет? Восемью треугольниками по шести точкам.

Ятима повозилась со сферой, деформировав ее последовательно перетекавшими друг в друга формами.

— Мне кажется, что вы правы. Но что же это дает нам?

Радья отмолчалась. Ятима придала объекту прозрачность, так что стали видны все треугольники одновременно. Они образовывали неплотную сеть, шеститочечную, застегнутую авоську туго натянутых струн. Онона выпрямила все двенадцать линий и тем значительно уплощила треугольники, но и сама сфера изменилась, превратившись в октаэдрический алмаз. Так же происходило и в прошлом построении, когда у негоё получился куб. Каждая грань алмаза обладала идеальной евклидовой топологией, но шесть узловых точек казались неисчерпаемыми резервуарами кривизны.

Онона попыталась сгладить и прижать к плоскости эту шестерку. Это удалось. Но теперь восемь треугольников искривились и приобрели неевеклидову топологию — какая была им присуща и на исходной сфере. Представлялось очевидным, что точки и треугольники нельзя одновременно привести к плоскостному расположению… но Ятима по-прежнему не могла уразуметь, почему две эти цели недостижимы по одному и тому же пути. Емей пришло в голову измерить углы стыковки четырех треугольников, там, где некогда находилась вершина алмаза: 90, 90, 90, 90 градусов. Результат соответствовал ожиданиям: чтобы замостить плоскость безо всяких промежутков, общая сумма углов должна равняться 360 градусам. Онона восстановила непритупленную алмазоподобную конструкцию и снова измерила углы: 60,60, 60, 60 градусов. Сумма углов равнялась 240 градусам, и этого было недостаточно для приведения к плоскости. Если сумма меньше полной окружности, все, что онона натянет на поверхность, будет выпучиваться, подобно конусу…

Вон оно что! Вот в чем загвоздка! Сумма углов между ребрами, сходящимися в каждую вершину, должна равняться 360 градусам, чтобы стало возможно уплощить структуру. Но каждый простой, евклидов треугольник поставляет только 180 градусов. Это вполовину меньше нужного. Итак, если бы треугольников было в точности вдвое больше, чем вершин, все бы складывалось тютелька в тютельку, но, располагая лишь восемью треугольниками для шести вершин, уплощить сферу не удастся.

Ятима торжествующе усмехнулась и изложила свои рассуждения Радье. Та спокойно заметила:

— Отлично. Ты только что переоткрыла теорему Гаусса-Бонне, связав число Эйлера с общей кривизной поверхности[11].

— Правда? — Ятиму охватила гордость. Эйлер и Гаусс были легендарными копателями прошлого, и хотя плотчики эти давно умерли, с ними и посейчас мало кто мог тягаться.

— Не совсем, — с легкой улыбкой призналась Радья. — Тебе стоило бы поглядеть на конструктивное доказательство: думаю, ты уже созрела для формальных оснований геометрии римановых пространств. Поначалу оно тебе может показаться чрезмерно абстрактным. Не стесняйся, если что, вернуться и поиграть с более простыми демонстративными примерами.

— Хорошо. — Ятиме не надо было объявлять, что урок окончен. Онона подняла руку в жесте признательности, стерла свою иконку из чащобы и очистила поле восприятия.

На миг Ятима оказалась вне всех окружений, с заглушенными каналами ввода информации, наедине с собой и мыслями. Онона знала, что полное постижение понятия кривизны так и не было нимею достигнуто. Насчитывались десятки различных путей к нему. Впрочем, онона могла быть довольна и тем, что ухватила маленький кусочек целой мозаики.

Затем она переместилась в Истинокопи.

Они представляли собой пещеру, погребенную глубоко в толще темных скал. Повсюду громоздились серые магматические минералы, наплывали и оползали темно-коричневые глины, проглядывали полоски рыжевато-красных рудовых выходов. В пол пещеры был вделан странный, светившийся тусклым светом объект: десятки порхавших туда-сюда искорок под причудливой пелериной из легких эфирных мембран. Мембраны образовывали концентрические гнездовья в форме слезинок или луковиц, напоминавшие картины Дали. Каждый ярус гнездовищ оканчивался пузырьком, в котором была уловлена единственная искорка, редко-редко — группа из двух или трех. Искорки перемещались внутри структуры, но конфигурация мембран неустанно подстраивалась так, чтобы ни одна искра не могла ускользнуть за пределы своего уровня вложенности.