Диаспора

В главе «Разбиение единицы» я упомянул двумерный вращательный полюс Пуанкаре. Существование такой точки для пятимерного объекта возможно, однако более вероятно наличие двух вращательных полюсов (трехмерных). [В четырехмерном пространстве полюсов вообще не существует.] Вращающаяся пятимерная звезда обладает двумя экваторами и двумя периодами вращения: в пяти измерениях существует семейство трехмерных аналогов параллельных плоскостей, центры которых образуют трехмерный объект, перпендикулярный плоскости вращения. Этот фиксированный объем может отсекать от четырехмерной сферы планеты двумерную сферу полюса, и хотя ее радиус равен радиусу самой планеты, на четырехмерной поверхности путешественник вполне может обойти полюс стороной; а вот если вращение происходит в двух плоскостях одновременно и независимо (а такое возможно!), два фиксированных объема пересекаются по прямой, образующей одномерную ось вращения. Она пересекает планету на двух полюсах, как в обычном трехмерном случае.

ПРИЛОЖЕНИЯ [127]

К главе «Добыча истины»

Поверхность тора, вложенного в трехмерное пространство, непрерывно искривлена. На первый взгляд кажется невозможным уплощить тор, не превратив меридианы (красные круги) в прямые — тогда все линии широты (синие круги) будут иметь одинаковый радиус. Но тогда топология поверхности изменится, и она станет обычным цилиндром. Однако, вращая каждый меридиан в четвертом пространственном измерении, можно добиться равенства широтных радиусов без ненужного спрямления меридианов. Трехмерная «тень» получившегося объекта выглядит как цилиндр, но различные оттенки передней и задней поверхностей указывают, что на самом деле они не соприкасаются ― в четвертом измерении они разделены.

Доказательство.

Стандартный способ вложения тора в три измерения приводит к замене координат

Здесь а, b — соответственно больший и меньший радиусы тора, а углы А, В пробегают значения от 0 до 2π. Выглядит это следующим образом:

Вложение тора в три измерения в координатах (х, у z)

Тор можно вложить и в четыре измерения:

Это новое вложение достигается вращением каждого красного меридиана на 90 градусов в четвертом измерении — расстояние по центральной оси превращается в расстояние по координате w.

Если теперь рассматривать сечение в координатах (х, у, z), меридианы, выглядевшие кругами, вроде бы вырождаются в прямые, но на самом деле это не так. Переходя к координатам (х, у, w) (координата z переведена в цветовую шкалу), видим, что меридианы начинаются с горизонтали и в направлении w выглядят уже вертикальными. В каждом случае круги все еще кажутся прямыми, поскольку четвертая координата показана только цветовой кодировкой.

Вложение тора в три измерения в координатах (х, у, w)

Вложение тора в четыре измерения в координатах (х, у, w)

Сферу тоже нельзя уплощить, вложив ее в любое пространство высшего порядка. Чтобы увидеть, почему это так, мысленно разделите ее на восемь треугольников. Четыре треугольника пересекаются в шести точках, и если бы поверхность, покрытая ими, была плоской, сумма углов вокруг каждой точки равнялась бы 360 градусам, а в сумме набегало бы 360 х 6 = 2160 градусов. Но, учитывая, что сумма углов каждого треугольника должна равняться 180 градусам, восемь треугольников поставляют нам 180 х 8 = 1440 градусов. Одновременно удовлетворить обоим этим условиям невозможно.

Доказательство. Любая поверхность характеризуется числом Эйлера. Если поверхность разбита на многоугольные грани, число Эйлера х наглядно определяется как

Здесь ф — число граней, ε — число ребер, ω — число вершин. Для сферы, разбитой на 8 треугольников, получаем ф = 8, ε = 12, ω = 6, X= 2.

От изменения какого-либо компонента формулы число Эйлера не меняется.

Рассмотрим теперь специальный случай, в котором все треугольники, вымостившие некоторую поверхность, полностью граничат всеми ребрами с соседями. Тогда каждое ребро принадлежит одновременно двум треугольникам. Итак, ε = Зф/2.