Диаспора

Отметим, что координаты х и увыбраны так, что они лежат в одной плоскости вращения, координаты zи и - в другой, а координата wлежит в плоскости, перпендикулярной им обеим. Чтобы понять, почему всегда можно выбрать такой базис, сперва учтем, что определитель любой антисимметричной матрицы N x N, где N ― нечетное число, равен нулю. Это так, потому что detΩ = detΩ^T, где Tозначает транспонирование, а определитель - собственно, N ― членная сумма произведений, в которой знаки везде изменены на противоположные для транспонированных компонент антисимметричной матрицы. Итак, detΩ^T = ―(detΩ) для нечетных N. Отсюда следует, что по крайней мере один ненулевой вектор в нуль-пространстве Ω наверняка существует. Выбирая его как опорное направление координаты w, ось вращения, мы «заполняем» последние столбец и строку матрицы Ω нулями. Задача сводится к четырехмерной. Четырехмерный случай будет рассмотрен дальше.

Пока же перемножим вектор для общей точки r = (x,y,u,z,w)на каноническую матрицу и получим

Итак, для любой точки cx=y=z=u=0скорость равна нулю. Набор таких точек составляет ось вращения тела - ось w. Сечение осью исходной гиперсферы даст два полюса, на которых w = ±R. Физически возможен, но космологически маловероятен случай, когда ω₂ = 0, то есть, чтобы скорость стала равной 0, достаточно удовлетворить условию х = у = 0. При этом остальные три координаты можно выбирать произвольно: они образуют трехмерный объем. Сечение объектом гиперсферы даст единственный полюс: двумерную сферу

 z² + u² + w² = R².

Два экваториальных круга:

　

В первом случае скорость вращения поверхности равна ω₁R, а во втором ― ω₂R. Итак, в пятимерном пространстве объекты могут вращаться одновременно с различными скоростями.

Перейдем к рассмотрению четырехмерного случая. Здесь общая матрица угловых скоростей задается шестью параметрами:

Отметим, что всегда можно ориентировать систему координат так, чтобы матрица Априводилась к каноническому виду. Один из способов это сделать требует отыскания собственных векторов AA, матричного произведения Ана себя саму. Это действительная симметричная матрица, и, следовательно, у нее четыре ортогональных собственных вектора. Они образуют пары с собственными значениями ― ω₁² и ― ω₂². Смысл этого явления легко выяснить из геометрических аналогий: действуя Ана любой вектор, лежащий в одной из плоскостей вращения, мы поворачиваем этот вектор на 90 градусов и умножаем на соответствующую компоненту ω. Действуя А дважды, мы восстанавливаем исходное значение вектора и умножаем его компоненты на ω². Каждая пара собственных векторов лежит в одной из плоскостей вращения.

Другой способ заключается в применении линейного оператора - звезды Ходжа. Обычно дуальная матрице Mматрица Ходжа записывается как ★ М, отсюда кодовое обозначение макросферы в Диаспоре. В контексте четырехмерной евклидовой геометрии звезда Ходжа отображает плоскости на другие плоскости. Например, если четыре используемых нами координаты обозначить как x,y,z,u, то дуальная плоскость Ходжа для плоскости ху ― плоскость zu. Аналогичным образом находятся и другие дуальные плоскости. Ситуация несколько осложняется тем, что при повороте в каждой плоскости придется выбирать из двух направлений вращения. Но, рассматривая Акак сумму поворотов в шести координатных плоскостях, мы получаем дуальные плоскости для каждой из них без особого труда. Придется лишь поменять несколько знаков, чтобы соблюсти выбранную ориентацию, и вместо коэффициентов, соответствующих, например, координатам хи у, написать коэффициенты, соответствующие, например, координатам zи и. Можете самостоятельно проверить, что получается

Теперь мы хотели бы расписать А как сумму по вращениям в двух плоскостях: в одной плоскости, матрицу которой мы обозначим как S, и перпендикулярной к первой, чью матрицу мы обозначим как ★S. Иными словами, следует выбрать S, ω₁, ω₂ так, чтобы

Действуя оператором Ходжа, а также учитывая, что двукратное его применение восстанавливает исходную матрицу, получим

Первое из этих уравнений домножим на ω₁ , а второе ― на ω₂. Вычтем их друг из друга. Имеем

Чтобы найти значения ω₁, и ω₂, заметим, что результат применения матрицы Sк вектору, перпендикулярному ее плоскости, равен нулю. Это возможно только в том случае, если определитель матрицы detS=0. Выпишем матрицу в явном виде и вычислим ее определитель. Это действие довольно утомительно.

Здесь мы ввели обозначения

Потребуем нормализовать матрицу S, чтобы |S|² = |★S|² = 1. Тогда значения ω₁ и ω₂ можно найти по отдельности. Между «амплитудами» исследуемых матриц имеется пифагорово соотношение. Как только Аразбита на дуальные пары, становится легко найти индивидуальные скорости вращения.