Диаспора

Если поверхность плоская, то общая сумма внутренних углов треугольников τ равна τ = 180ф. В то же время τ = З60ω. Отсюда следует, что поверхность может быть уплощена только в том случае, если

Поскольку для сферы число Эйлера х = 2, уплощить ее невозможно.

К главе «Сердце Ящерицы»

На моем сайте можно загрузить интерактивный Java-апплет, иллюстрирующий излучение гравитационных волн двойной системой нейтронных звезд. Для работы с ним ваш браузер должен поддерживать Java. Апплет занимает около 11 Кбайт, так что, если у вас медленный Интернет, загрузка отнимет какое-то время[128].

Следует заметить, что программа использует алгоритмы вычислений, основанные на общей теории относительности в ее современном виде. Эффекты физики вселенной Диаспоры апплет не учитывает.

Период вращения и расстояние между компонентами системы связаны законом Кеплера. Квадрат периода T пропорционален кубу расстояния а:

Здесь M= m₁ + m₂  ― совокупная масса компонентов, a G — гравитационная постоянная. Общая энергия излучения гравитационных волн обратно пропорциональна пятой степени расстояния между звездами:

Здесь μ = (m₁ m₂)/(т₁ + т₂) ― приведенная масса системы. Краткое обоснование соотношения таково: амплитуда гравитационного излучения каждой звезды пропорциональна ее массе т_i и центробежному ускорению ω₂a_i, где а_i — расстояние от центра масс системы, а ω = 2π/Т, а также обратно пропорциональна расстоянию до наблюдателя r. По определению m₁a₁ = m₂a₂ так что звезды генерируют гравитационные импульсы в точности одинаковой амплитуды, а разность фаз между ними составляет 180º. Временная задержка при прохождении звезд не дает волнам скомпенсировать друг друга и поставляет дополнительную разность фаз, пропорциональную (а₁+а₂)ω. Итак, амплитуда волны, регистрируемой удаленным наблюдателем, составляет

A ~ μa²ω³ /r

Мощность излучения пропорциональна квадрату амплитуды. Подставляя вместо ω полученное из закона Кеплера соотношение

ω² ~ M/a³, получаем:

L~ А²r²

L ~ M³μ²Ia⁵

Точные численные коэффициенты при G и c можно найти из анализа размерностей, но все же множитель 32/5 требует учета общей теории относительности. Точное описание движения пробных частиц также выходит за рамки настоящего очерка, но оценить искривление орбиты можно, умножив соотношение для А на Т/2. Получаем　

dx/x ~ μа²ω²/r

Воспользовавшись законом Кеплера и подставляя численные коэффициенты при G и c, имеем

dx/x ~ (G²Mμ)/(c⁴ar)　

Вычисляя время до столкновения звезд, учтем, что суммарная энергия системы (кинетическая плюс потенциальная) составит

E = — GMμ/a + m₁ω²a₁²/2 + т₂ω²а₂²/2

E = — GMμ/a + m₁ω² а²/2

E = — GMμ/a + — GMμ/2a

E = — GMμ/2a

Дифференциальное уравнение для ее изменения во времени получается из условия равенства этой энергии и энергии гравитационных волн [129]

dE/dt = GMμ/2a² x da/dt

dE/dt = — L

GMμ/2a² x da/dt = — (32G⁴M³μ²)/5c⁵a⁵

da/dt = — (64G³M²μ/5c⁵a³)

dt/da = — (5c⁵a³/64G³M²μ)

Интегрирование элементарно и привносит дополнительный множитель 1/4:

t = — (5c⁵a⁴/256G³M²μ)　

Здесь предполагается, что звезды столкнутся при t=0.

В этих выкладках я следовал гл. 35–36 учебника С. W Misner, К. S. Thorne and J. A. Wheeler, Gravitation, W. Н. Freemann, New York, 1970 [Имеется русский перевод: Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, Гравитация. В 3-х тт. M.: Мир, 1977.] (далее MTW). Уравнение для энергии излучения L с точностью до коэффициентов пересчета из системы единиц, где G = с = 1, совпадает с уравнением MTW (36.16а), а уравнение для времени столкновения t ― с уравнением MTW (36.17Ь). Промежуточные вычисления основаны на уравнении MTW (36.1).

К главе«Закороченные пути»　

На моем сайте можно загрузить интерактивный Java-апплет, иллюстрирующий пространственно-временную диаграмму гипотетической системы двух закороченных червоточин. Для работы с ним ваш браузер должен поддерживать Java. Апплет занимает 71 Кбайт, так что, если у вас медленный Интернет, загрузка отнимет какое-то время. Две красные вертикальные прямые соответствуют мировым линиям горловин одной червоточины, а две синие — мировым линиям горловин другой червоточины. Все, что проходит в горловину одной червоточины, немедленно возникает из горловины другой. Термин «немедленно» следует трактовать в контексте системы отсчета, связанной с первой червоточиной. Изменяя наклон синих прямых, вы можете варьировать относительную скорость прохождения фотонов по червоточинам и наблюдать, как влияет это изменение на путь пробного фотона, отмеченный фиолетовыми линиями.