Десять уравнений, которые правят миром. И как их можете использовать вы

Изначально уравнение влияния применила Google при разработке своего алгоритма ранжирования страниц PageRank – незадолго до рубежа веков. Компания вычисляла стационарные распределения для сайтов в предположении, что пользователи случайным образом щелкают по ссылкам на посещенных сайтах, чтобы выбрать следующий, на который перейдут. По этой причине в результатах поиска они выше ставили сайты с более высокими значениями p_∞. Примерно в то же время Amazon стала создавать матрицу смежности A для своего бизнеса. В ней связывались те книги, а позже игрушки, фильмы, электроника и другие товары, которые люди покупали вместе. Определив тесные связи в матрице, компания смогла давать рекомендации для клиентов под заголовком вроде «Вам также может понравиться». Twitter использует стационарное распределение в своей соцсети, чтобы найти и предложить вам людей, на которых можно подписаться. Facebook применяет те же идеи при обмене новостями, а YouTube – чтобы рекомендовать видеоролики. Со временем подход развивался, появлялись дополнительные детали, но базовым инструментом для нахождения влиятельных лиц в соцсети остается матрица смежности A и ее стационарное распределение p_∞.

За последние два десятилетия это привело к неожиданному результату. Система, которая первоначально создавалась для измерения влияния, превратилась в его создателя. Алгоритмы на базе уравнения влияния определяют, какие публикации должны занимать видное место в социальных сетях. Идея в том, что если некто популярен, то этого человека желают выслушать больше людей. Результатом становится цикл обратной связи: чем влиятельнее человек, тем большую заметность дает ему алгоритм, а от этого его влияние еще больше растет.

Один бывший сотрудник Instagram рассказал мне, что изначально основатели компании очень неохотно применяли в бизнесе алгоритмы и математику. «Они видели в Instagram нечто очень нишевое, артистичное и считали алгоритмы негодными», – говорил он. Эта платформа предназначалась для обмена фотографиями между близкими друзьями. Все изменилось после успеха Facebook. «За последние пару лет платформа стала совершенно иной. Один процент ее пользователей имеет более 90 % подписчиков», – заметил мой собеседник.

Вместо того чтобы побуждать пользователей подписываться только на друзей, компания применила к своей сети уравнение влияния. Оно еще сильнее раскручивало самые популярные аккаунты. Возникала обратная связь, и аккаунты знаменитостей росли всё сильнее. Едва Instagram стал использовать уравнение влияния, как и все платформы социальных сетей до него, его популярность резко возросла – в нем более миллиарда пользователей.

* * *

Математические методы, используемые при конструировании соцсетей, появились задолго до возможности создания таких приложений. Вовсе не Google изобрела уравнение влияния: его происхождение восходит к Маркову, который предложил свойство, получившее его имя, для рассмотрения цепей состояний, где каждое новое состояние зависит только от предыдущего. Именно это и происходит при моем случайном путешествии по Instagram.

Решая уравнение 5 для моего мира из пяти человек, я слегка поленился. Я нашел ответ – вероятность, с которой буду тем или иным человеком в отдаленном будущем, – многократно перемножая матрицу A и вектор p_t, пока тот не перестал меняться. Сделав это, я нашел p_∞.

Такой метод в итоге приводит к правильному ответу, но он не особо изящен. И Google им не пользуется. Свыше ста лет назад математики Оскар Перрон и Георг Фробениус показали, что для любой цепи Маркова с матрицей A существует единственное стационарное распределение p_∞. Итак, независимо от структуры социальной группы мы всегда можем вычислить, сколько времени будем проводить тем или иным человеком, если станем случайным образом перемещаться между людьми. Это стационарное распределение можно найти с помощью метода Гаусса, который, как и нормальная функция, связан с именем Карла Фридриха Гаусса, однако восходит к более древним временам: китайские математики решали системы линейных уравнений с помощью этого метода больше двух тысяч лет назад. К матрице A применяются так называемые элементарные преобразования, чтобы привести ее к более удобному виду и найти в итоге p_∞. Это дает возможность быстро и эффективно находить влиятельных людей даже для сетей с миллионами участников.