Четвертое измерение

Одна из этих планет, Астрия, населена двумя расами треугольников: цивилизованные юнифы создали науку и технику, а варварские скифы являются воинами. В этой книге Хинтон в большей степени, чем Эбботт во «Флатландии», затрагивает вопросы науки и техники. В частности, он описывает физику двумерного мира и некоторые механические устройства. И конечно, в романе затрагиваются и социальные вопросы: автор повествует об отношениях между молодой леди и простым пролетарием. Дядя девушки является единственным человеком Астрии, который верит в существование трехмерного пространства.

Иллюстрация из книги Чарльза Хинтона «Случай во Флатландии». Действие разворачивается на планете Астрия, представляющей собой плоский круг и населенной треугольниками. На западе живут скифы, а на востоке — юнифы.

* * *

ОТ «ФЛАТЛАНДИИ» К «ПЛАНИВЕРСУМУ»

Использование компьютеров для имитации «Флатландии» привело к появлению в 1984 г. книги «Планиверсум. Виртуальный контакт с двумерным миром». Ее автор, математик Александр Дыодни, родился в Канаде в 1941 г. Он рассмотрел всевозможные аспекты двумерного мира, аналогичного описанному Хинтоном. Среди них — политика, география, архитектура, физика, химия, биология, культура, игры и даже что и как обитатели этого мира едят.

Глава 2. Что такое размерность?

Я знаю, что многие… считают, что обобщенное понятие [четырехмерного] пространства является не более чем формой алгебраической абстракции, но то же самое можно сказать и о нашей идее бесконечности в алгебре, или о невозможных линиях в геометрии, или линиях, которые образуют угол в 0 градусов, хотя никто не будет оспаривать пользу этих понятий.

Джеймс Джозеф Сильвестр. Призыв к математикам (1869)

В этой главе рассматриваются понятия размерности и многомерных пространств.

Термин «размерность» широко используется не только в науке и технике, но и в повседневной жизни. Это слово в разных смыслах часто встречается в газетах и в Интернете. Например, выражение «GPS-навигация в трехмерном пространстве» использует понятие трех измерений, которые необходимы устройству GPS для определения положения объекта на земном шаре: широты, долготы и высоты. Вместе с этим выражение «размеры коробки 30 см (длина) х 15 см (ширина) х 15 см (высота)» означает величину предмета. Мы можем даже найти что-то вроде выражения «культурная размерность интернета», которое можно интерпретировать метафорически, имея в виду всю многогранность интернета и нашей культуры в целом.

Слово «размерность», или «измерение», используемое сейчас в нашей повседневной жизни, имеет почти такой же смысл, как и в науке вплоть до XIX в., хотя значение термина развивалось по мере популяризации изначальных математических идей. Даже в таких фразах, как «жить в другом измерении» или «путешествие в другое измерение», значение слова по-прежнему основывается на тех же фундаментальных идеях. В науке и технике этот термин тоже приобрел несколько различных значений и разную степень сложности в зависимости от области, в которой он используется. Например, существуют такие понятия, как размерность векторного пространства, топологическая размерность, фрактальные размерности… Однако целью этой книги является не объяснение терминов, а лишь введение интуитивного понятия размерности.

Степени свободы

Во-первых, давайте остановимся на вопросе: «Что такое размерность?» В общем случае, когда мы говорим о размерности пространства, мы имеем в виду то, что физики и инженеры называют степенью свободы.

В одномерном пространстве у нас есть только одна степень свободы, то есть мы можем двигаться только вперед и назад по одной линии. В поезде мы всегда движемся либо вперед по рельсам, либо назад: состав не может совершать другие движения.