Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Почему же заблуждение игрока — столь сильный мотив? Все дело в контроле. Нам нравится ощущение контроля за тем, что вокруг нас происходит. Если события совершаются случайно, мы не можем их контролировать. Наоборот, если нам удается контролировать события, то они не случайны. Именно поэтому мы предпочитаем усматривать закономерности даже там, где никаких закономерностей нет. Тем самым мы пытаемся восстановить чувство контроля. Потребность осуществления контроля представляет собой глубокий человеческий инстинкт, связанный с выживанием. В 1970-х годах в весьма впечатляющем (если не сказать жестоком) эксперименте исследовалось, насколько ощущение контроля важно для пожилых пациентов, живущих в интернатах для престарелых. Некоторым пациентам предоставили возможность самим решать, как будут обставлены их комнаты, а также выбрать растение, за которым они будут ухаживать. Других же просто поселили в уже готовые комнаты и выделили комнатное растение. По прошествии 18 месяцев результат оказался просто устрашающим. У тех пациентов, кому была предоставлена возможность принятия решений, смертность составляла 15 процентов, а у тех, кто был этого лишен, — 30 процентов. Ощущение, что мы контролируем ситуацию, поддерживает в нас жизнь.

* * *

Случайность — нечто очень далекое от плавности и спокойствия. Она создает области пустоты и области сгущений.

Случайность позволяет объяснить, почему в некоторых небольших деревнях процент врожденных заболеваний выше нормального, почему на некоторых дорогах происходит больше несчастных случаев и почему в некоторых баскетбольных матчах оказываются забитыми все штрафные. А также почему в 7 из 10 последних финалов чемпионата мира по футболу по крайней мере у двух игроков совпадали дни рождения:

2006	Патрик Виера, Зинедин Зидан (Франция), 23 июня
2002	Никого
1998	Эммануэль Пети (Франция), Рональдо (Бразилия), 22 сентября
1994	Франко Барези (Италия), Клаудио Таффарель (Бразилия), 8 мая
1990	Никого
1986	Серхио Батиста (Аргентина), Андреас Бреме (Западная Германия), 9 ноября
1982	Никого
1978	Рене ван де Керкхоф, Вилли ван де Керкхоф (Голландия), 16 сентября; Джонни Реп, Ян Йонгблед (Голландия), 25 ноября
1974	Джонни Реп, Ян Йонгблед (Голландия), 25 ноября
1970	Пьацца (Бразилия), Пьерлуиджи Чера (Италия), 25 февраля

С первого взгляда это воспринимается как удивительный набор совпадений, однако с точки зрения математики в этом списке нет ничего выдающегося, потому что стоит только случайно выбрать группу из 23 человек, как окажется, что совпадение дней рождения у двух людей в группе будет более вероятным, чем отсутствие таких совпадений. Это явление известно как парадокс дней рождения. В нем нет никаких противоречий, однако же он бросает вызов здравому смыслу: число 23 кажется абсурдно малым для такого совпадения.

Доказательство парадокса дней рождения похоже на те доказательства, что мы использовали в начале главы, изучая комбинации, выпадающие при бросании костей. На самом деле можно переформулировать парадокс дней рождения в виде следующего утверждения: если взять кость с 365 сторонами, то после 23 бросаний более вероятно, что одна и та же грань выпадет два раза, чем что такого не случится.

Шаг 1

Вероятность того, что у двух человек в группе окажется одна и та же дата рождения, равна единице минус вероятность того, что ни у каких двух людей в этой группе дни рождения не совпадут.

Шаг 2

Вероятность того, что в группе из двух человек их дни рождения не совпадут, равна ³⁶⁵/₃₆₅ × ³⁶⁴/₃₆₅. Так получается, потому что первый человек может родиться в любой день (365 возможностей из полного числа 365), а для второго остается любой из дней за исключением того, когда родился первый (364 возможности из полного числа 365). Для простоты не будем обращать внимания на лишний день в високосные годы.

Шаг 3

Вероятность того, что ни у кого в группе из трех человек даты рождения не попадут на один и тот же день, равна ³⁶⁵/₃₆₅ × ³⁶⁴/₃₆₅ × ³⁶³/₃₆₅. В группе из четырех человек она оказывается равной ³⁶⁵/₃₆₅ × ³⁶⁴/₃₆₅ × ³⁶³/₃₆₅ × ³⁶²/₃₆₅ и т. д. Каждое следующее умножение делает результат все меньше и меньше. Когда в группе оказывается 23 человека, результат наконец пересекает отметку в 0,5 (точное значение равно 0,493).

Шаг 4