Жизнь в Древнем Египте

показывал, что нужными числами были 2, ¹/₄ и ¹/₈, поскольку парные им числа в сумме составляют как раз 19. Мы бы сказали: 8 содержится в 19 2³/₈ раза.

В связи с этим несовершенным пониманием деления легко понять, что египетский ученик не знал дробных чисел в том смысле, который это понятие имеет в нашей арифметике. Он вполне мог понять, что можно разделить вещь на несколько частей, и имел для такой части отдельное обозначение, например,«рот десяти», что означало «одна десятая». Но эта часть для него всегда была одна, он никогда не думал о ней во множественном числе. Египтяне могли сказать: «одна десятая и десятая и десятая» или «одна пятая и одна десятая», но привычное нам понятие ³/₁₀ в уме египтянина не существовало. Но было одно исключение: для ²/₃ у него были особые слово и знак, и это была у него единственная дробь не из разряда простейших. Когда он должен был делить меньшее число на большее, например 5 на 7, он не мог изобразить результат в виде дроби ⁵/₇, как делаем мы, а был вынужден делать это крайне утомительным обходным путем. Он анализировал эту задачу, либо деля 1 на 7 пять раз, чтобы результат был ¹/₇ + ¹/₇ + ¹/₇ + ¹/₇ + ¹/₇, или делил два раза 2 на 7 и один раз 1 на 7, причем второй способ был более распространен. Существовали специальные таблицы, в которых египтянин мог найти практические результаты деления на 2 нечетных чисел первой сотни. Так он получал ¹/₄ ¹/₂₈ ¹/₄, ¹/₂₈, ¹/₇, которые он знал, как потом привести к виду ¹/₂ + ¹/₇ + ¹/₁₄.

Если с помощью такого громоздкого механизма египтяне получали точные результаты, то лишь благодаря тому, что работа была рутинная. Тематика примеров была так узка, что для каждого из них существовала установленная формула. Каждый расчет имел особое название и короткую общепринятую формулу, которую после того, как применил ее один раз, было легко повторять. Предлагаемый здесь пример вычисления может проиллюстрировать то, что было сказано только что.

Мне трудно представить себе, чтобы даже самый опытный математик смог бы догадаться, что означают эти цифры, и, лишь сравнивая похожие вычисления, мы можем понять все эти сокращения. Предположение, сформулированное в строке а, соответствует уравнению х₅ = 21, результат которого х = 17¹/₂ совершенно верно указан в строке Поскольку египтянин не очень хорошо умел выполнять вычисления с дробями, он на следующем шаге должен был вычислить эту несчастную ¹/₅ х. Это он делает так: в строкеумножает искомое число и пятую часть этого числа на 5, в сумме это дает 6. В строке21 делится по громоздкому египетскому способу на это 6, результат равен 3¹/₂. Эти 3¹/₂ были бы искомым числом, если бы раньше мы в строкене превратили дробь ⁶/₅ в число 6, умножив ее на 5; поэтому результат нашего деления должен быть в пять раз больше. Это умножение выполняется в строке г и дает в результате 17¹/₂. В строкерезультат проверен сложением этого 17¹/₂ с ¹/₅, определенной раньше, то есть с числом 3¹/₂, и в результате получается верная сумма – 21 из условия нашей задачи. В нашей современной записи все решение выглядело бы так:

а) ⁶/₅ х = 21

б) 6 х = 21 х 5

в) х = 2¹/₆ х 5

г) = 3¹/₂ х 5

д) х = 17¹/₂

Проверка: 17¹/₂ + 3¹/₂= 21

О геометрии египтяне знали еще меньше, чем об арифметике, хотя им было крайне необходимо умение измерять площадь участка поверхности из-за того, что каждый год разлив уничтожал очень много границ между полями. Все их расчеты имели в основе прямоугольник, площадь которого они верно определяли как произведение длин двух его сторон. Но, как ни странно, они совершенно не замечали, что нельзя обращаться одинаково со всеми четырехсторонними фигурами, у которых противоположные стороны имеют одинаковую длину. И поскольку египтяне рассматривали каждый четырехугольник как четырехугольник, у которого две стороны совпадают одна с другой, а две остальные вдвое короче этих, они переносили эту ошибку и в вычислительные операции над треугольниками. Кроме того, для них равнобедренный треугольник был равен половине произведения длин его длинной и короткой сторон, потому что они во всех случаях определяли площадь соответствующего ему четырехугольника как произведение длин двух его сторон, словно это был просто прямой угол. Ошибка, возникавшая из-за заблуждений такого рода, в определенных обстоятельствах могла быть велика.