Введение в логику и научный метод

Что могли бы мы ответить на подобное предложение? Мы могли бы сказать, что, пожалуй, ни один ответ не является лучше любого другого, поскольку мы полагаем, что цифры появляются в совершенно случайном порядке. Однако, с другой стороны, мы все же можем сформулировать гипотезу о том, что цифра, полученная при одном извлечении, не является несвязанной с цифрой, полученной при каком-то другом извлечении. Мы можем обратить внимание на порядок, в котором появляются цифры. На основании общей гипотезы о том, что такой порядок имеет место, мы можем предложить частную гипотезу, объясняющую последовательность появления цифр. Не вызывает сомнения то, что даже в случае реального отсутствия какой-либо определенной последовательности в появлении цифр мы, тем не менее, можем попробовать сформулировать закон этого появления. Делаемое нами на определенном этапе предположение о появлении цифр в некотором порядке не означает того, что на каком-то другом более позднем этапе, имея лучшие основания, мы не сможем отрицать существование такого порядка.

Примем общую гипотезу о порядке. Если так, то основной проблемой становится отыскание частного порядка. Так, каждый отдельный закон или формула, которые мы будем вводить, будут во многом зависеть от имеющегося у нас ранее знания и степени нашей осведомленности с математическими последовательностями. На основании данной осведомленности может быть усмотрена связь между появляющейся цифрой и порядковым номером извлечения. Разумеется, можно сформулировать и другие виды связи; можно предположить, что существует связь между извлекаемыми цифрами и временем их извлечения. Любой, кто знаком с алгеброй, сможет предложить несколько формул, выражающих подобный тип связи. Так, в качестве закона последовательности появления цифр мы можем предложить формулу y 1 = 3 n , где n – порядковый номер извлечения, а y 1 – извлекаемая цифра. Когда n = 1, y 1 = 3; а когда n = 2, y 1 = 9. Данная гипотеза полностью учитывает все известные факты.

Однако мы знаем и другие гипотезы, которые также могут полностью учитывать все известные факты. Такими гипотезами могут быть формулы: y 2 = 6 n – 3; y 3 = ₃∕₂( n 2 + n ); y 4 = 2 n 2 + 1; и y 5 = n 3/3 + 11 n /3 – 1. Несложно показать, что может быть обнаружено бесконечное число различных выражений, выполняющих эту же функцию. Все остальные гипотезы мы можем отбросить без рассмотрения, только если считаем, что обладаем определенным релевантным знанием, на основании которого рассматриваем только эти пять.

Однако являются ли данные пять формул в равной степени «удовлетворительными»? Если бы обнаружение порядка между уже извлеченными цифрами было бы условием, накладываемым на гипотезу, то, действительно, нельзя было бы отыскать причину, по которой одна из этих формул была бы более предпочтительной, чем другая. Но мы стремимся к тому, чтобы наши законы или формулы были на самом деле универсальными, т. е. выражающими неизменные отношения, существующие между цифрами. Поэтому предпочтительной гипотезой будет та, которая позволит предсказывать то, что еще не произошло, и из которой мы сможем вывести то, что уже случилось ранее, даже если бы об этом ничего не знали на момент формулировки гипотезы. Таким образом, мы можем высчитать, что если одна из этих пяти формул является универсально применимой, то при третьем извлечении мы получим: «27» – если истинна первая, «15» – если истинна вторая, «18» – если третья, «19» – если четвертая и «19» – если истинна пятая.

Крайне важно сформулировать гипотезу и ее следствия до попытки ее верифицировать, ибо, во-первых, если мы изначально не сформулировали гипотезу, то даже не знаем, что именно мы пытаемся верифицировать. Во-вторых, если мы намеренно выбираем гипотезу так, чтобы она подтверждалась набором определенных фактов, то это еще не дает нам гарантии в том, что она будет подтверждена и другими фактами, помимо рассмотренных. В таком случае нельзя сказать, что мы обезопасили себя от ошибочного отбора и что проведенная нами «верификация» является проверкой выбранной гипотезы. Логическая функция предсказания заключается в том, чтобы позволить провести подлинную верификацию наших гипотез посредством указания на факты, которые ее подтвердят, до непосредственного момента проверки.

Таким образом, если случится так, что третьей извлеченной цифрой окажется «19», то первые три формулы будут элиминированы. Оставшимся двум формулам придется пройти проверку при еще большем количестве данных опыта. Тем не менее, мы не можем быть уверенными в том, что эти формулы являются единственными, способными описывать последовательность появления цифр.