Введение в логику и научный метод

Возрождение в сфере логических исследований пришлось на первую половину XIX века и было практически полностью связано с именами двух английских математиков: Огастеса де Моргана и Джорджа Буля. Размышления над процессами, наблюдаемыми в области математики, убедили их в том, что возможно было получить гораздо большее количество обоснованных умозаключений, чем имелось на тот момент. Основным вкладом де Моргана явилось заложение основ теории отношений. Открытие Буля заключалось в том, что логические процессы можно было сделать более обобщенными и ускоренными, если правильно оговорить конвенции относительно используемых символов. Его книга «Исследование законов мысли» (1854, данное название не соответствует оригинальному) заложила целую эпоху в истории логики. В ней с неоспоримым успехом было показано, что математические методы применимы не только в исследовании количеств, но и относительно любой упорядоченной области и, в особенности, к отношениям между классами и между суждениями. Постепенно понимание логики как исследования типов упорядочивания вошло в сознание людей. Со времен Буля тесная связь между логикой и математикой была продемонстрирована такими математиками, как Вейерштрасс, Дедекинд, Кантор, Пеано, и такими философами, как Пирс, Фреге, Рассел и Уайтхед. 

§ 2. Формальные свойства отношений

Анализ общих идей, используемых в математике, показывает, что наиболее распространенной из них является отношение. Ясное понимание его природы крайне важно при изучении структуры суждений.

Отношения легко проиллюстрировать, однако сложно определить. «Быть больше, чем», «быть холоднее, чем», «быть столь же старым, как», «быть отцом» – все это примеры некоторых отношений, в которых объекты разных видов могут находиться друг к другу. Считается, что объект находится в отношении, если мы в своем утверждении о нем открыто указываем на другой объект. Термин, от которого исходит отношение, называется референтом [37] , а термин, на который направлено отношение, называется релатумом. В суждении «Наполеон был мужем Жозефины» отношением является «быть мужем», и оно соединяет «Наполеона» и «Жозефину» [38] . «Наполеон» является референтом, а «Жозефина» – релатумом. Данное отношение является двухместным. В суждении «Борджиа дала яд своему гостю» отношением является «дала». Оно соединяет «Борджиа», «яд» и «гостя». Данное отношение считается трехместным [39] . Четырехместное отношение иллюстрируется в суждении «США купили Аляску у России за семь миллионов долларов». Можно привести и примеры других многоместных отношений, однако отношения с более чем четырьмя терминами встречаются редко.

Примерами двухместных отношений также являются такие суждения, как «Муссолини – итальянец». Здесь имеет место отношение «быть членом класса». В суждении «итальянцы – европейцы» имеет место отношение включенности в класс. Понятие отношения заменяет понятие связки: связка в традиционной логике является особым типом двухместного отношения. Мы еще рассмотрим некоторые свойства двухместных отношений, от которых зависит обоснованный вывод. Однако все многоместные отношения также можно классифицировать на основании различий, которые мы проведем ниже.

Симметрия

В суждении «Наполеон является мужем Жозефины» «быть мужем» представляет отношение; в суждении «Жозефина является женой Наполеона» его представляет «быть женой». Это последнее отношение называется обратным отношением первого. Если Наполеон находится к Жозефине в отношении «быть мужем», то Жозефина не находится к Наполеону в этом же отношении. Поэтому отношение «быть мужем» считается асимметричным.

В суждении «Джону столько же лет, сколько и Тому» отношение «столько же лет, сколько и» является симметричным, ибо если Джон находится в этом отношении к Тому, то и Том находится в этом же отношении к Джону. Симметричное отношение – это то отношение, которое является тем же самым, что и его обратное отношение. Однако если истинно суждение «Джентльмены предпочитают блондинок», то суждение «Блондинки предпочитают джентльменов» может быть истинным, а может быть и ложным. Такие отношения, как «предпочитать», иногда являющиеся симметричными, а иногда – асимметричными, считаются несимметричными.

Транзитивность

Если истинно «А является отцом В» и «В является отцом С», то «А не является отцом С». Такое отношение, как «быть отцом», называется «интранзитивным». Однако если «Джон старше Тома» и «Том старше Гарри», то «Джон старше Гарри». Отношение «быть старше» является транзитивным. Некоторые отношения иногда являются транзитивными, а иногда интранзитивными. Если «Цезарь является другом Брута» и «Брут является другом Кассия», то Цезарь может быть другом Кассия, а может таковым и не быть. Подобные отношения называются нетранзитивными (nontransitive).