В плену у чисел

С этой задачей было покончено, но простые числа все равно не давали ему покоя. Они притягивали.

Первушин знал, что многие математики старались раскрыть закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных, но это им не удалось сделать. Было много гипотез, но при тщательной проверке они оказались неверными. Ошибались не только начинающие математики, но и авторитетнейшие ученые.

Один из творцов аналитической геометрии, теории вероятностей и теории чисел, известный французский математик Пьер Ферма в 1639 году высказал предположение о том, что числа вида 2²ⁿ+1 являются простыми при любых целых неотрицательных значениях «n», то есть эта формула — как бы «генератор» простых чисел. На самом деле, при n=0 мы получаем просто число 3, при n=1 — простое число 5, при n=2 — простое число 17, при n=3 — простое число 257, при n=4 — простое число 65537. Ферма утверждал, что и при любых других натуральных значениях «n» «генератор» будет давать только простые числа. При n=5 он получил число 4294967297. Ученый был убежден, что и это число простое, но доказать свое предположение он не смог. Только в 1733 году, то есть через 94 года после того, как Ферма высказал свое предположение, выдающийся русский математик, академик Леонард Эйлер доказал, что при n=5 «генератор» Ферма не срабатывает, получившееся число — составное. Ферма ошибся. Может быть, это единственная осечка «генератора», — подумали ученые (авторитет Ферма был достаточно высок). Нет, не единственная.

Прошло почти 150 лет после открытия Эйлера, и математиков мира поразила новость. «Генератор» Ферма не срабатывал также и при n=12 и при n=23. На этот раз покой математиков нарушил безвестный священник из уральского села Замараевского Иван Михеевич Первушин. Этот упрямый человек решил задачу, над решением которой ломали голову известнейшие математики, задачу, которую не смог решить великий Ферма.

В ноябре 1877 года вице-президент Петербургской Академии наук, известный математик Виктор Яковлевич Буняковский получил письмо, в котором далекий уральский корреспондент сообщал: 2²¹²+1 — составное и один из делителей его равен 114689. А позже тот же корреспондент сообщил Буняковскому, что и число 2²²³+1 тоже составное и один из делителей его равен 167772161. Проверку делимости первого числа Первушина провел сам Буняковский, второго — профессор Егор Иванович Золотарев. Стало ясно: Первушин прав. Сенсация! Академик В. Я. Буняковский в донесении в отделение физико-математических наук Академии по поводу первой записки Первушина сказал: «По моему мнению, факт о новом случае делимости чисел вида 2²ⁿ+1 не лишен научного интереса для занимающихся теорией чисел и, желательно, чтоб он получил гласность». Академия поручила Буняковскому составить заметку. Что он и сделал. Эта заметка была опубликована на русском языке в «Записках Академии» и на французском языке в «Бюллетене Академии наук». Заметки были опубликованы вовремя, ибо через два месяца в записках Туринской Академии наук Италии была опубликована статья французского математика Э. Люка, в которой он приводит этот же случай делимости. Приоритет Первушина не вызывал сомнения. Наконец, о математике с Урала заговорили в академических кругах как о крупном даровании, как о человеке фантастического трудолюбия. Сколько сил и времени надо было затратить, доказывая делимость этих чисел! Чтобы хоть немного почувствовать это — достаточно знать, что в числе 2²²³+1 2525223 цифры.

Только одержимый человек мог оперировать такими громадными числами и добиваться при этом выдающихся успехов!

Первушина влекли и совершенные числа.

Если сложить все делители натурального числа, но не равные этому числу, то эта сумма в одном случае будет меньше самого числа, а в другом — больше. Например, сумма делителей числа 8 равна 1+2+4=7, то есть меньше 8, а сумма делителей числа 12 равна 1+2+3+4+6=16, то есть больше 12. Естественно, возникает вопрос о существовании таких чисел, сумма делителей которых равнялась бы этим числам. Такие числа есть. И называются они совершенными.

Еще в Древней Греции знали совершенные числа 6 (1+2+3=6) и 28 (1+2+4+7+14=28). Известный древнегреческий математик Евклид нашел еще два совершенных числа 496 и 8128. Прошло 17 веков, и только в 1460 году было найдено пятое совершенное число — 33550336. В шестнадцатом веке были найдены шестое и седьмое совершенные числа. В 18 веке Леонард Эйлер нашел восьмое совершенное число. Вот оно: 2 305 843 008 139 952 128. Прав был древнегреческий математик Никомах Герасский, который, рассуждая о совершенных числах, писал: «Совершенные числа красивы. Но известно, что красивые вещи редки и немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии».