В лабиринте чисел

— Гораздо позже, — сказала Ари. — Оно происходит от латинского «nullum» — «ничто». Но, как ни странно, «ничто» — самая важная цифра нашей счётной системы! Казалось бы, пустота, воздух — а какая сила! Нуль только тогда ничего не значит, когда стоит слева от числа. Но стоит ему стать справа — и число тут же увеличивается в 10 раз. Да и слева от числа нуль ничего не значит только до тех пор, пока справа от него не поставят запятой. А чуть запятая поставлена — и число сразу уменьшилось…

— …вдесятеро? — предположил Чит.

— Как когда, — возразила Ари. — В зависимости от того, сколько в числе знаков. Нуль с запятой перед однозначным числом уменьшит его в 10 раз. Вот, например, 01 — что это такое?

— Телефон пожарной команды.

— Да нет, что это за число?

— Просто единица.

— А 0,1 это уже одна десятая, то есть дробь. Только такие дроби называются десятичными, а не простыми. Нуль с запятой перед двузначным числом 11 уменьшит его уже в 100 раз, то есть превратит в одиннадцать сотых: 0,11. А 0,111 — это уже сто одиннадцать тысячных…

— Выходит, влево от запятой каждый следующий разряд вдесятеро больше предыдущего, а вправо — вдесятеро меньше, — подытожил Чит. — Значит, если мне вздумается уменьшить единицу сразу в 100 раз, придётся…

— Придётся вклинить между запятой и единицей ещё один нуль. Вот так: 0,01. Вот какая могущественная цифра нуль! А уж число нуль и совсем особенное. Да и опасное! Нуль со знаком умножения запросто уничтожает какое угодно большое число. Ведь всякое число, помноженное на нуль, тоже превращается в нуль! Делить на нуль и того рискованней. При этом непременно придётся иметь дело с числами-великанами из бесконечности. А с бесконечностью шутки плохи! Вот почему деление на нуль строжайше запрещено. Зато сам нуль ничего не боится! Его на что ни умножай, на сколько частей ни дели — он так нулём и останется.

— Круглый он, да не дурак! — сострил Чит. — А как ведёт себя нуль при возведении в степень?

— А ты сам подумай! Чему равен нуль в первой степени?

— Если рассуждать логически, — заважничал он, — нуль в данном случае число, а всякое число в первой степени равно самому себе. Значит, нуль в первой степени тоже равен нулю.

— Верно. Подумай теперь, чему равно любое число в нулевой степени. Вот хоть 5.

— Ммм… Наверное, тоже нулю. Ведь 5 при этом надо помножить само на себя нуль раз или попросту ни разу.

— А вот тут подвела тебя логика. Каким образом? Сейчас поймёшь. Но сперва познакомься с правилами умножения и деления степеней. Реши для начала такой пример: 2³ × 2².

Чит взял блокнот и написал: «2³ × 2² = 8 × 4 = 32».

— Правильно, — похвалила Ари, — но можно иначе. Взгляни на результат 32. Что это такое? Это 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁵. Отсюда 2³ × 2² = 2⁵. Но 5 — это же сумма показателей перемножаемых степеней: 3 + 2 = 5. Значит, для перемножения степеней с одинаковыми основаниями достаточно сложить их показатели и возвести одно из оснований во вновь полученную степень: 2³ × 2² = 2⁵ = 32.

После этого Чит сам сообразил, что при делении степеней с одинаковыми основаниями надо вычислить разность показателей: 2³ : 2² = 2^3–2 = 2¹ = 2.

— Вот теперь нетрудно понять, отчего любое число в нулевой степени равно не нулю, а единице, — сказала Ари. — Чему, по-твоему, равно 5³ : 5³? Ясно, что единице, поскольку единице равно всякое число, делённое само на себя. Но 5³ : 5³ = 5^3–3 = 5⁰. А две величины, порознь равные третьей, равны между собой. Отсюда 5⁰ = 1.

Вслед за этим, «рассуждая логически», Чит заключил было, что если единице равно всякое число в нулевой степени, то единице равен и нуль в нулевой степени. Но Ари снова напомнила ему, что нуль хоть и число, да не всякое: у него своя логика! И потому 0⁰, так же как 0 : 0, равны не единице, а совсем другому числу. В математике оно называется неопределённостью, потому что у него может оказаться любое числовое значение. Да, таков уж нуль! От этого товарища всегда жди каких-нибудь фокусов. Недаром в лабиринте чисел про него поют ещё и такую песенку:

У людей говорят:
«Не шути с огнём!»
А у нас говорят:
«Не шути с нулём!»

У нуля про запас
Сотни каверз и проказ,
Нужен глаз за ним
Да глаз!

Отрицательные и положительные числа

— Помнится, на балете «Знаки арифметические» ты интересовался, какие такие отрицательные числа поминал Минус, — сказала Ари. — Пора открыть тебе эту страшную тайну.