В лабиринте чисел

— Ещё бы! — воскликнула Ари. — Правильно рассуждать необходимо всем. И едва ли не более всего — математикам.

Чит спросил, с какой стати такое предпочтение математике? Разве она не такая же наука, как все?

— В том-то и дело, что не такая же, — сказала Ари. — Это остроумно доказывает венгерский математик Рéньи в книге, написанной в духе древнегреческих диалогов, то есть бесед. Греки — великие мастера по части рассуждений и доказательств, и, следуя им, Реньи выявляет особенности математики при помощи искусно поставленных вопросов. Познакомлю тебя с ними вкратце. Как ты думаешь, что такое медицина?

— Наука о болезнях, — ответил Чит.

— Сойдёт. А астрономия?

— Наука о звёздах, о планетах…

— Сойдёт и это. А как ты назовёшь человека, который ищет месторождения нефти, угля, руды?

— Геологом.

— Верно. Теперь скажи: если бы не было врачей, были бы болезни?

— Что за вопрос! Даже, наверно, ещё больше.

— А звёзды? Были бы звёзды, если бы не было астрономов?

— Ясное дело, были бы.

— А нефть, уголь, руда, были бы они, если бы не было геологов?

— Конечно. Как лежали в земле, так бы там и остались.

— Отлично! — Ари даже руки потёрла от удовольствия. — Можем мы теперь сказать, что и болезни, и звёзды, и природные ископаемые существуют на самом деле?

— Тут и спрашивать нечего.

— Выходит, учёные, которые ими занимаются, имеют дело с вещами действительно существующими. А с чем имеют дело математики?

— С числами.

— Но можешь ты сказать, что числа — ну, хотя бы натуральные — существуют на самом деле? Так же, как звёзды, болезни, ископаемые?

— Ммм… Наверное, могу, — замялся Чит. — Если бы натуральных чисел не было, как бы мы с тобой о них говорили?

— Ну, а дробные числа? — допытывалась Ари. — Если бы не было на свете математиков, были бы дробные числа?

— Не знаю, — растерялся он.

— Так и быть, помогу тебе, — сжалилась она и написала на бумажке дробь ⁴/₅. — Видишь ты эту дробь?

— Вижу.

— Можешь её потрогать?

— Могу.

— Значит ли это, что она существует?

— Ты что, смеёшься? Мало ли что я нарисую! Может, Бабу-Ягу или Змея Горыныча. Но разве они существуют на самом деле?

— Стало быть, если число можно изобразить, это ещё не значит, что оно существует на самом деле. Где же, в таком случае, находятся дробные числа? Может быть, только в воображении математиков, которые их придумали?

— Ты хочешь сказать, что математика имеет дело с вещами воображаемыми, а другие науки — с действительно существующими?

— Именно! В самую точку! И вот в чём состоит главная особенность математики, главное отличие её от других, естественных наук. Заметь: Реньи доказал это с помощью логических рассуждений. Рассуждение и доказательство — главное оружие логики. Но рассуждение и доказательство также главное оружие математики. Понимаешь теперь, почему математика так нуждается в логике? Впрочем, с некоторых пор и логика без математики не обходится.

— Это как же? — удивился Чит.

— Сейчас объясню. Видишь ли, среди прочих удивительных свойств есть у математики и то, что она легко переводит любые понятия на свой язык. А язык чисел — самый точный и самый краткий на свете. И вот отчего им так охотно пользуются самые разные науки. Даже такие, казалось бы, далёкие от математики, как наука о литературе — литературоведение. В наши дни математика стала международным языком, на котором изъясняются самые разные отрасли знаний, в том числе и логика.

— Хотел бы я знать, кому это пришло в голову перевести логику на язык математики? — полюбопытствовал Чит.

— Как тебе сказать… Первую попытку применить математику в логике сделал итальянский монах Лýллий в XIII веке. В XVII веке этим вопросом занимался великий немец Лéйбниц. Но окончательно это удалось англичанину Бýлю только в XIX веке. Правда, открытие его дожидалось признания около ста лет. Зато теперь булева алгебра пользуется всеобщим уважением. Достаточно сказать, что она играет не последнюю роль в устройстве так называемых думающих машин. А это, пожалуй, самые сложные машины на свете!

Множества

Теперь они очутились на цветущем солнечном лугу. Здесь мирно пощипывали сочную зелёную траву коровы и овцы, резвились длинногривые лошади и тонконогие жеребята. Чит смотрел на них, но никак не мог понять, при чём тут множества? Да и вообще, что это такое?

Как ни странно, всезнающая Ари долго думала, прежде чем ему ответить, а потом сказала, что точного определения множеству, пожалуй, не подберёшь. Впрочем, представление о множестве всё-таки дать можно, и лучше всего на примерах.

— Погляди вокруг, — предложила она. — Что ты видишь?

— Коров. Лошадей. Овец.

— Все они вместе образуют множество домашних животных на этом лугу. В то же время лошади образуют своё, самостоятельное множество: множество лошадей. Овцы также образуют множество овец, коровы — множество коров. И все эти отдельные множества входят в множество домашних животных. Стало быть, мы имеем право сказать, что каждое из этих трёх множеств есть подмножество множества домашних животных, которые пасутся на этом лугу. Теперь взгляни на лошадей. Одинаковые они или разные?

— Разные. Белые, гнедые, вороные.