В лабиринте чисел

— Лошади каждой масти образуют своё множество, которое тоже есть подмножество множества лошадей. А вот дерево, подле которого бродит табун, — входит оно в множество лошадей?

— Пожалуй, нет. Я думаю, дерево входит в множество деревьев.

— Верно. Но можно сказать, что дерево входит в множество всего, что находится на этом лугу. Потому что в множества объединяются не только однородные, но и самые разнородные предметы.

— Хо-хо-хо! — закатился Чит. — Тогда всё, что лежит у меня в кармане, тоже множество?

— Конечно. Хотя представляю себе, что там лежит… А теперь скажи, сколько лошадей в этом табуне… то есть в этом множестве?

Чит насчитал 25 лошадей, и Ари сказала, что, стало быть, в этом множестве 25 элементов. А вот коров — 18. Значит, множество коров состоит из восемнадцати элементов. Множества, где число элементов ограничено, называются конечными.

— А есть и бесконечные? — сейчас же прицепился Чит.

— Есть.

— Небось число элементов в них сосчитать нельзя?

— У иных нельзя, у иных можно. Вот, например, множество чётных чисел бесконечное, но всё-таки счётное.

— Сомневаюсь, — сказал Чит. — Чётным числам, как и всем другим, конца нет. Как же их сосчитать?

— На деле, разумеется, не сосчитаешь. Но умозрительно, чисто теоретически, перенумеровать их можно:

А вот множество точек на отрезке прямой или окружности перенумеровать нельзя. Даже теоретически. Это множество бесконечное и несчётное. Ведь точка в геометрии не имеет никаких размеров. Это понятие воображаемое. И даже на самом крохотном участке прямой умещается такое же множество точек, как и на прямой, соединяющей Землю, скажем, с Луной.

— И ты берёшься это доказать?!

— Берусь, но лучше эдак годика через два.

— А можно множества складывать, вычитать? И тому подобное?

— Конечно. Только здесь свои правила. Впрочем, с ними тебя познакомят в школе.

— У, какая ты неразговорчивая стала! Объясни, по крайней мере, для чего нужны множества?

— Видишь ли, не всем научным открытиям находится применение сразу. Так было с булевой алгеброй. Так было и с теорией множеств немецкого учёного Георга Кáнтора. Долгое время их считали совершенно бесполезными. Но вот возникла кибернетика, появились думающие машины. И то, что казалось бесполезным, стало жизненно необходимым. Булева алгебра и теория множеств учат машины логически мыслить, правильно отбирать нужные сведения из множества множеств, объединяющих самые разные понятия…

— Постой, Ари, — недовольно перебил Чит, — ты совсем меня запутала! Что общего между булевой алгеброй и теорией множеств?

— Очень много. Во-первых, они пользуются одними и теми же математическими приёмами и правилами. Во-вторых, ты уже знаешь, что логика и математика вообще неразлучны. Они постоянно обогащают и совершенствуют друг друга. За примером недалеко ходить: исследуя бесконечные множества, учёные до того усовершенствовали логику своих рассуждений, что это положило начало новой отрасли математики — математической логике. Между прочим, таких заслуг у теории множеств порядочно. Можно смело сказать, что из неё вытекает чуть ли не вся современная математика. Но это уж разговор не для тебя. А мы ведь ещё не исчерпали множества остановок нашего маршрута!

Нуль

так называлась очередная остановка, и Ари спросила, знает ли Чит, что это этакое. Он даже обиделся: что за вопрос?! Нуль — цифра, которой обозначают пустоту. В числе 408 нуль надо было поставить в разряде десятков.

— Верно, — сказала Ари, — но нуль не только цифра. Как все цифры, он ещё и число, притом с очень занятными свойствами. Про него даже стихи сочинили:

Нуль на месте на пустом
Ставят, как известно,
Только он при всём при том
Не пустое место.

Не похож он на пятак,
Не похож на рублик,
Круглый он, да не дурак,
С дыркой, да не бублик!

Чит пришёл от стихов в восторг, и ему захотелось узнать о нуле подробнее. Оказалось, родина нуля — Индия: именно там надумали ставить кружок в пустом разряде числа. Но некоторые учёные считают, что нуль появился раньше, вместе с вавилонской позиционной системой счёта. Только сначала он был невидимкой. Желая показать, что в разряде пусто, вавилоняне делали пропуск между цифрами соседних с ним разрядов. Вот как это выглядит в вавилонском числе 3604: . Конечно, такая запись нередко приводила к путанице, и со временем пустой разряд стали обозначать разделительным значком: . Правда, в конце числа вавилоняне нуля не ставили. Это добавление возникло в Греции, а утвердилось в Индии. Но именно благодаря ему десятичная позиционная система счёта приняла такой законченный вид. Между прочим, «кружок» по-индийски — «сýнья». Арабы перевели это слово на свой язык, где «кружок» — «сифр». Но потом словом «сифр» стали называть и все остальные девять цифр. Так возникло слово «цифра».

— А когда появилось слово «нуль»? — полюбопытствовал Чит.