Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

ЕЩЕ ОДНО ДИ0ФАНТ0В0 УРАВНЕНИЕ

Последняя задача, описанная на этой странице, приведена в «Арифметике» Диофанта в книге VI под номером 17. Диофант нашел ее решение следующим образом. Он ввел новую переменную n — площадь треугольника. Тогда (р·q)/2 = n, то есть р·q = 2·n. Далее Диофант принял р = 2 и q = n. Сумма площади и длины гипотенузы треугольника равняется n + r, периметр треугольника — 2 + n + r. Так как число n + r должно быть квадратом, нужно найти такой квадрат, который при увеличении на 2 был бы кубом. Тогда Диофант обозначил длину стороны квадрата через m + 1, длину стороны куба — через m — 1. Теперь нужно найти число m такое, что (m + 1)² + 2 = (m -1)³. Иными словами, m² + 2·m + 3 = m³ — 3·m² + 3·m — 1, или, что аналогично, 4·m² + 4 = m³ + m. Отсюда следует, что 4·(m² + 1) = m·(m² + 1), следовательно, m = 4. Таким образом, имеем n + r = 5² = 25. Так как треугольник со сторонами р, q и r должен быть прямоугольным, имеем: 4 + n² = r². Подставив в это уравнение n = 25 — r, получим 4 + (25 — r)² = r². Раскрыв скобки и упростив полученное выражение, имеем: 629 — 50·r = 0. Иными словами, r равно 629/50, следовательно, n и q равны 621/50.

Заметьте, что Диофант решил в целых числах кубическое уравнение х² + 2 = у³ — его корнями являются х = 5, у = 3. Это уравнение имеет единственное решение в целых числах (именно его нашел Диофант) и бесконечно много дробных решений.

* * *

В 1621 году, спустя почти полтора тысячелетия после того, как Диофант написал свою «Арифметику», шесть сохранившихся книг этого труда были отпечатаны на языке оригинала и в переводе на латынь. Автором этого издания с комментариями стал француз Баше де Меризиак.

«Арифметика» Диофанта — одна из немногих книг, вошедших в историю благодаря одному из своих читателей. Речь о французском адвокате Пьере Ферма. Ферма также был математиком-любителем, однако его «любительские» заслуги намного выше профессиональных достижений многих математиков.

В XVII веке теория чисел еще не была частью роскошного района математики. После удивительного расцвета, достигнутого во времена Диофанта, интерес математиков к теории чисел ослабевал на протяжении полутора тысяч лет, и тут на сцену вышел Ферма и вернул теории чисел прежнюю славу, применив самый действенный способ, какой только известен математикам: он сформулировал несколько интересных задач. Достаточно прочесть его примечания и комментарии на полях «Арифметики» Диофанта. Самуэль Ферма, сын математика, составил сборник этих примечаний и комментариев, дополнил ими издание Баше де Меризиака и опубликовал этот вариант «Арифметики» Диофанта в 1670 году.

Обложка «Арифметики» Диофанта с комментариями Пьера Ферма, изданной его сыном в 1670 году.

В этой книге редко встретишь задачу, предложенную Диофантом или комментарий де Меризиака, для которых Ферма не сформулировал бы дополнение, обобщение или интересную задачу по той же теме. Известнейшую из них Ферма записал на полях книги II рядом с задачей 8: «Представить данный квадрат в виде суммы двух квадратов». Иными словами, в этой задаче Диофант объяснял свой алгоритм нахождения пифагоровых троек: р² + q² = r².