ДИОФАНТОВО УРАВНЕНИЕ
Задача, описанная на этой странице, приводится во второй книге «Арифметики» под номером 15. Диофант нашел ее решение следующим образом. Он обозначил через р и q квадраты двух последовательных чисел, так как ему было известно, что их произведение, увеличенное на их сумму, также является квадратом. В самом деле, если р = m2, q = (m + 1)2, то:
p·q + p + q = m2·(m + 1)2 + m2 + (m + 1)2 = m4 + 2·m3 + 4·m2 + 2·m + 1 = (m2 + m + 1)2.
В частности, Диофант использовал р = 4 и q = 9. Таким образом, p·q + p + q обязательно будет квадратом: 4·9 + 4 + 9 = 72. Две остальные величины будут таковы: 4·n + 4 + n = 5·n + 4 и 9·n + 9 + n = 10·n + 9. Таким образом, нужно найти число n такое, что и 10·n + 9, и 5·n + 4 будут квадратами. Далее Диофант ввел еще две вспомогательные переменные, r и k, определяемые уравнениями r2 = 10·n + 9 и k2 = 5·n + 4. Имеем
r2 — k2 = 10·n + 9–5·n — 4 = 5·n + 5,
что можно записать как (r + k)·(r — k) = 5·(n + 1). Таким образом, r + k = 5 и r — k = n + 1. Выразив r и k из этих равенств, получим: r = (n/2) + 3 и k = 2 — (n/2). Подставив значение r в уравнение r2 = 10·n + 9 и упростив полученное выражение, получим уравнение второй степени (n2/4) = 7·n = 0. Его решением будет n = 28.
* * *
Приведем пример уравнений, которые рассматривает Диофант в своей «Арифметике»: «Найти три таких числа, что произведение любых двух из них, увеличенное на их сумму, будет квадратом». Если мы обозначим искомые числа через
Другое диофантово уравнение, также изученное до Диофанта, имело отношение к теореме Пифагора: требовалось найти все натуральные числа
образуют пифагорову тройку, и все пифагоровы тройки имеют подобный вид. Например, приняв
Среди уравнений, рассмотренных Диофантом в «Арифметике», было уравнение, описывающее пифагоровы тройки. Диофант также решил уравнение
* * *