Читаем Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика полностью

ДИОФАНТОВО УРАВНЕНИЕ

Задача, описанная на этой странице, приводится во второй книге «Арифметики» под номером 15. Диофант нашел ее решение следующим образом. Он обозначил через р и q квадраты двух последовательных чисел, так как ему было известно, что их произведение, увеличенное на их сумму, также является квадратом. В самом деле, если р = m2, q = (m + 1)2, то:

p·qp + q = m2·(m + 1)2 + m2 + (m + 1)2 = m4 + 2·m3 + 4·m2 + 2·m + 1 = (mm + 1)2.

В частности, Диофант использовал р = 4 и q = 9. Таким образом, p·+ p + обязательно будет квадратом: 4·9 + 4 + 9 = 72. Две остальные величины будут таковы: 4·n + 4 + n = 5·+ 4 и 9·n + 9 + n = 10·n + 9. Таким образом, нужно найти число n такое, что и 10·n + 9, и 5·n + 4 будут квадратами. Далее Диофант ввел еще две вспомогательные переменные, r и k, определяемые уравнениями r = 10·n + 9 и k2 = 5·n + 4. Имеем

r2k2 = 10·n + 9–5·n — 4 = 5·n + 5,

что можно записать как (r + k)·(rk) = 5·(n + 1). Таким образом, = 5 и rk = n + 1. Выразив r и k из этих равенств, получим: r = (n/2) + 3 и k = 2 — (n/2). Подставив значение r в уравнение r2 = 10·n + 9 и упростив полученное выражение, получим уравнение второй степени (n2/4) = 7·n = 0. Его решением будет n = 28.

* * *

Приведем пример уравнений, которые рассматривает Диофант в своей «Арифметике»: «Найти три таких числа, что произведение любых двух из них, увеличенное на их сумму, будет квадратом». Если мы обозначим искомые числа через р, q и n, тo p·q + p + q, p·n + p = n и q·n + q + n должны быть квадратами. Диофант привел решение р = 4, q = 9 и n = 28. В самом деле, р·qq = 49 = 72, р·nр + n = 289 = 172, q·n + qn = 144 = 122 (см. врезку). Такие уравнения были известны древним грекам задолго до Диофанта. Первое из них, несомненно, выглядело так: найти натуральные числа m и n такие, что m2 = 2·n2. Как вы уже знаете, Пифагор доказал, что это уравнение не имеет решений: если бы они существовали, то √2 было бы рациональным числом.

Другое диофантово уравнение, также изученное до Диофанта, имело отношение к теореме Пифагора: требовалось найти все натуральные числа р, q, r, которые были бы решениями уравнения р2 + q2 = r2. Согласно теореме Пифагора, точнее обратной ей теореме, такие числа р, q, r являются сторонами прямоугольного треугольника. Тройки чисел, удовлетворяющих этому уравнению, стали называться пифагоровыми тройками. В книге X «Начал» Евклида приведено общее решение этой задачи: для произвольных натуральных чисел m, n и k

p = k·(m2n2), = 2·k·m·n и rk·(m2 + n2)

образуют пифагорову тройку, и все пифагоровы тройки имеют подобный вид. Например, приняв m = 3, n = 1 и k = 4, имеем р = 32, q = 24 и r = 40, которые действительно удовлетворяют равенству р2 + q2 = r2.

Среди уравнений, рассмотренных Диофантом в «Арифметике», было уравнение, описывающее пифагоровы тройки. Диофант также решил уравнение р2 + q2 = r2, добавив к нему множество дополнительных условий. Например, он решил задачу о нахождении сторон прямоугольного треугольника, периметр которого является кубом, а сумма площади и гипотенузы — квадратом. Диофант нашел следующее решение этой задачи: длина гипотенузы r равнялась 629/50, длины катетов р и q — 2 и 621/50. Периметр треугольника равнялся 2 + 621/50 + 629/50 = 1350/50 = 27 = 33, сумма площади и гипотенузы — (621/50)·2/2 + 629/50 = 1250/50 = 25 = 52 (см. врезку на предыдущей странице).

* * *

Перейти на страницу:

Все книги серии Мир математики

Математики, шпионы и хакеры
Математики, шпионы и хакеры

Если бы историю человечества можно было представить в виде шпионского романа, то главными героями этого произведения, несомненно, стали бы криптографы и криптоаналитики. Первые — специалисты, виртуозно владеющие искусством кодирования сообщений. Вторые — гении взлома и дешифровки, на компьютерном сленге именуемые хакерами. История соперничества криптографов и криптоаналитиков стара как мир.Эволюционируя вместе с развитием высоких технологий, ремесло шифрования достигло в XXI веке самой дальней границы современной науки — квантовой механики. И хотя объектом кодирования обычно является текст, инструментом работы кодировщиков была и остается математика.Эта книга — попытка рассказать читателю историю шифрования через призму развития математической мысли.

Жуан Гомес

Математика / Образование и наука
Когда прямые искривляются
Когда прямые искривляются

Многие из нас слышали о том, что современная наука уже довольно давно поставила под сомнение основные постулаты евклидовой геометрии. Но какие именно теории пришли на смену классической доктрине? На ум приходит разве что популярная теория относительности Эйнштейна. На самом деле таких революционных идей и гипотез гораздо больше. Пространство Минковского, гиперболическая геометрия Лобачевского и Бойяи, эллиптическая геометрия Римана и другие любопытные способы описания окружающего нас мира относятся к группе так называемых неевклидовых геометрий. Каким образом пересекаются параллельные прямые? В каком случае сумма внутренних углов треугольника может составить больше 180°? Ответы на эти и многие другие вопросы вы найдете в данной книге.

Жуан Гомес

Математика / Образование и наука

Похожие книги

История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных
История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Эта книга, по словам самого автора, — «путешествие во времени от вавилонских "шестидесятников" до фракталов и размытой логики». Таких «от… и до…» в «Истории математики» много. От загадочных счетных палочек первобытных людей до первого «калькулятора» — абака. От древневавилонской системы счисления до первых практических карт. От древнегреческих астрономов до живописцев Средневековья. От иллюстрированных средневековых трактатов до «математического» сюрреализма двадцатого века…Но книга рассказывает не только об истории науки. Читатель узнает немало интересного о взлетах и падениях древних цивилизаций, о современной астрономии, об искусстве шифрования и уловках взломщиков кодов, о военной стратегии, навигации и, конечно же, о современном искусстве, непременно включающем в себя компьютерную графику и непостижимые фрактальные узоры.

Ричард Манкевич

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Математика / Научпоп / Образование и наука / Документальное